微分積分学準備例

$lim_{x \to 0} \frac{(\frac{1}{6 - x}) - (\frac{1}{6})}{x}$

ステップ 1

項をまとめます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{6 - x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{6 - x} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{6})}{x}$

ステップ 1.2

$- (\frac{1}{6})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6 - x}{6 - x}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{6 - x} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{6}) \cdot \frac{6 - x}{6 - x}}{x}$

ステップ 1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(6 - x) \cdot 6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{6 - x}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{(6 - x) \cdot 6} - (\frac{1}{6}) \cdot \frac{6 - x}{6 - x}}{x}$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{6}$ に $\frac{6 - x}{6 - x}$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{(6 - x) \cdot 6} - \frac{6 - x}{6 (6 - x)}}{x}$

ステップ 1.3.3

$(6 - x) \cdot 6$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{6 (6 - x)} - \frac{6 - x}{6 (6 - x)}}{x}$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 - (6 - x)}{6 (6 - x)}}{x}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 2.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 - x)}{6 (6 - x)} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.1.2

$\frac{6 - (6 - x)}{6 (6 - x)}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 - x)}{6 (6 - x) x}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{6}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 - x)}{(6 - x) x}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 6 - (6 - x)}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

ステップ 3.1.2

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

$x$ を $0$ に代入し、 $6 - (6 - x)$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{6 - (6 + 0)}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

ステップ 3.1.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.2.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{6 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

ステップ 3.1.2.2.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{6 - 6}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

ステップ 3.1.2.3

$6$ から $6$ を引きます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} 6 - x \cdot lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} 6 - lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.3.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(6 - lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.3.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(6 + 0) \cdot lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.3.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(6 + 0) \cdot 0}$

ステップ 3.1.3.5

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.3.5.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{6 \cdot 0}$

ステップ 3.1.3.5.2

$6$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.5.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 - x)}{(6 - x) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 - (6 - x)]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 - (6 - x)]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $6 - (6 - x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- (6 - x)]$ です。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- (6 - x)]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

ステップ 3.3.3

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (6 - x)]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

ステップ 3.3.4

$\frac{d}{d x} [- (6 - x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (6 - x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [6 - x]$ です。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [6 - x]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

ステップ 3.3.4.2

総和則では、 $6 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

ステップ 3.3.4.3

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

ステップ 3.3.4.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 - \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

ステップ 3.3.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 - 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

ステップ 3.3.4.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 - 1)}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

ステップ 3.3.4.7

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

ステップ 3.3.4.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 + 1}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

ステップ 3.3.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

ステップ 3.3.6

$f (x) = 6 - x$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{(6 - x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [6 - x]}$

ステップ 3.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{(6 - x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [6 - x]}$

ステップ 3.3.8

$6 - x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \frac{d}{d x} [6 - x]}$

ステップ 3.3.9

総和則では、 $6 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])}$

ステップ 3.3.10

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

ステップ 3.3.11

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.3.12

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \cdot - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.3.14

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \cdot - 1}$

ステップ 3.3.15

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x - 1 \cdot x}$

ステップ 3.3.16

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x - x}$

ステップ 3.3.17

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - 2 x}$

ステップ 3.3.18

項を並べ替えます。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{- 2 x + 6}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 2 x + 6}$

ステップ 4.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} - 2 x + 6}$

ステップ 4.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 6}$

ステップ 4.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6}$

ステップ 4.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x + 6}$

ステップ 5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- 2 \cdot 0 + 6}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$- 2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{0 + 6}$

ステップ 6.1.2

$0$ と $6$ をたし算します。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$

ステップ 6.2

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\frac{1}{6}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$\frac{1}{6 \cdot 6}$

ステップ 6.2.2

$6$ に $6$ をかけます。

$\frac{1}{36}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{36}$

10進法形式：

$0.02\overline{7}$

微分積分学準備 例

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