微分積分学準備例

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{2} - 4}{x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2} - 4}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(2 + x)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(2 + 0)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{2} - 4}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.2

${(2 + x)}^{2}$ を $(2 + x) (2 + x)$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(2 + x) (2 + x) - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(2 + x) (2 + x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 (2 + x) + x (2 + x) - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 + 2 x + x (2 + x) - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.3

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 2 x + 2 \cdot x + x \cdot x - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.1.3

$x$ に $x$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 2 x + 2 x + x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 4 x + x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.5

総和則では、 $4 + 4 x + x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.6

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.7.3

$4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 + 2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.9

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.10.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.10.1.1

$0$ と $4$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.10.1.2

$4 + 2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 + 2 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.10.2

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 4}{1}$

ステップ 1.4

$2 x + 4$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} 2 x + 4$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 4$

ステップ 2.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$2 lim_{x \to 0} x + 4$

ステップ 3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \cdot 0 + 4$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2$ に $0$ をかけます。

$0 + 4$

ステップ 4.2

$0$ と $4$ をたし算します。

$4$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例