微分積分学準備例

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 x)}{3 x \sin (2 x)}$

ステップ 1

$\frac{1}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 x)}{x \sin (2 x)}$

ステップ 2

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

ステップ 3

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

ステップ 4

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

ステップ 5

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

ステップ 6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

ステップ 7

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

ステップ 8

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

ステップ 9

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

ステップ 10

すべての $x$ に $\frac{π}{4}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 10.1

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

ステップ 10.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

ステップ 10.3

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

ステップ 11

答えを簡約します。

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ステップ 11.1

分子を簡約します。

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ステップ 11.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.1.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{2 (2)})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

ステップ 11.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

ステップ 11.1.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (\frac{π}{2})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

ステップ 11.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 0}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

ステップ 11.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 0}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

ステップ 11.1.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

ステップ 11.2

$\frac{π}{4}$ と $\sin (2 \frac{π}{4})$ をまとめます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{4})}{4}}$

ステップ 11.3

分子を簡約します。

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ステップ 11.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{2 (2)})}{4}}$

ステップ 11.3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{4}}$

ステップ 11.3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}$

ステップ 11.3.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \cdot 1}{4}}$

ステップ 11.4

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π}{4}}$

ステップ 11.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{3} (1 \frac{4}{π})$

ステップ 11.6

$\frac{4}{π}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{π}$

ステップ 11.7

$\frac{1}{3}$ に $\frac{4}{π}$ をかけます。

$\frac{4}{3 π}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{4}{3 π}$

10進法形式：

$0.42441318 \dots$

微分積分学準備 例

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