微分積分学準備例

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x^{3} - 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x^{3} - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 1.1.2.1.2

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{8 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 1.1.2.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{8 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 1.1.2.1.4

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{8 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 {(\frac{1}{2})}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{8 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{8 \frac{1}{2^{3}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{8 (\frac{1}{8}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 (\frac{1}{8}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

ステップ 1.1.3.2

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

ステップ 1.1.3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

ステップ 1.1.3.4

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

ステップ 1.1.3.5

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

ステップ 1.1.3.6

すべての $x$ に $\frac{1}{2}$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

ステップ 1.1.3.6.2

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 1.1.3.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.7.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{0}{6 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 1.1.3.7.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{6 \frac{1}{2^{2}} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 1.1.3.7.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{6 (\frac{1}{4}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 1.1.3.7.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.7.1.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{0}{2 (3) \frac{1}{4} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 1.1.3.7.1.4.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{0}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 1.1.3.7.1.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{0}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 1.1.3.7.1.4.4

式を書き換えます。

$\frac{0}{3 (\frac{1}{2}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 1.1.3.7.1.5

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{0}{\frac{3}{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 1.1.3.7.1.6

$- 5$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{0}{\frac{3}{2} + \frac{- 5}{2} + 1}$

ステップ 1.1.3.7.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{0}{\frac{3}{2} - \frac{5}{2} + 1}$

ステップ 1.1.3.7.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{0}{1 + \frac{3 - 5}{2}}$

ステップ 1.1.3.7.3

$3$ から $5$ を引きます。

$\frac{0}{1 + \frac{- 2}{2}}$

ステップ 1.1.3.7.4

$- 2$ を $2$ で割ります。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.7.5

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.8

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x^{3} - 1}{6 x^{2} - 5 x + 1} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} - 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} - 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $8 x^{3} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

ステップ 1.3.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

ステップ 1.3.3.3

$3$ に $8$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

ステップ 1.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

ステップ 1.3.5

$24 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $6 x^{2} - 5 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.7.3

$2$ に $6$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.8.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.8.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 + 0}$

ステップ 1.3.10

$12 x - 5$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$24$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$24 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{12 x - 5}$

ステップ 2.2

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$24 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 12 x - 5}$

ステップ 2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 12 x - 5}$

ステップ 2.4

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 12 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5}$

ステップ 2.5

$12$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{12 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5}$

ステップ 2.6

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{12 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 5}$

ステップ 3

すべての $x$ に $\frac{1}{2}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$24 \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{12 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 5}$

ステップ 3.2

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$24 \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$24 \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

ステップ 4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$24 \frac{\frac{1}{2^{2}}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

ステップ 4.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$24 \frac{\frac{1}{4}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$24 \frac{\frac{1}{4}}{2 (6) \frac{1}{2} - 1 \cdot 5}$

ステップ 4.2.1.2

共通因数を約分します。

$24 \frac{\frac{1}{4}}{2 \cdot 6 \frac{1}{2} - 1 \cdot 5}$

ステップ 4.2.1.3

式を書き換えます。

$24 \frac{\frac{1}{4}}{6 - 1 \cdot 5}$

ステップ 4.2.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$24 \frac{\frac{1}{4}}{6 - 5}$

ステップ 4.2.3

$6$ から $5$ を引きます。

$24 \frac{\frac{1}{4}}{1}$

ステップ 4.3

$\frac{1}{4}$ を $1$ で割ります。

$24 (\frac{1}{4})$

ステップ 4.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$4 (6) \frac{1}{4}$

ステップ 4.4.2

共通因数を約分します。

$4 \cdot 6 \frac{1}{4}$

ステップ 4.4.3

式を書き換えます。

$6$

微分積分学準備 例

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