微分積分学準備例

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 2 x}{x^{4}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 1.1.2.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0^{2} - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 1.1.2.5

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.5.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.1.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $x^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4}}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{4}}$

ステップ 1.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 2 x}{x^{4}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 1.3.5

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2}{4 x^{3}}$

ステップ 1.4

$2 x - 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x) - 2}{4 x^{3}}$

ステップ 1.4.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x) + 2 (- 1)}{4 x^{3}}$

ステップ 1.4.3

$2$ を $2 (x) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x - 1)}{4 x^{3}}$

ステップ 1.4.4

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.4.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x - 1)}{2 (2 x^{3})}$

ステップ 1.4.4.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x - 1)}{2 (2 x^{3})}$

ステップ 1.4.4.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{x - 1}{2 x^{3}}$

ステップ 2

関数が左から $\infty$ に右から $- \infty$ に近づくので、極限はありません。

$存在しない$

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