微分積分学準備例

$lim_{x \to 7} \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{x^{2} - 49}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 7} 2 - \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $7$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 7} 2 - lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $7$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{2 - lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

ステップ 1.1.2.1.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

ステップ 1.1.2.1.4

$x$ が $7$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

ステップ 1.1.2.1.5

$x$ が $7$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $7$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 - \sqrt{7 - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 - \sqrt{7 - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$7$ から $3$ を引きます。

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

ステップ 1.1.2.3.1.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

ステップ 1.1.2.3.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $7$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - lim_{x \to 7} 49}$

ステップ 1.1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - lim_{x \to 7} 49}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $7$ に近づくと定数である $49$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - 1 \cdot 49}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $7$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{7^{2} - 1 \cdot 49}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{49 - 1 \cdot 49}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $49$ をかけます。

$\frac{0}{49 - 49}$

ステップ 1.1.3.3.2

$49$ から $49$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 7} \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{x^{2} - 49} = lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $2 - \sqrt{x - 3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ です。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 7} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - 3}$ を ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 7} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.4.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.4.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 3$ とします。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.4.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.4.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.4.4

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.4.6

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.4.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.4.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.4.9

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.4.10

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.4.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.4.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.4.11

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.4.12

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.4.13

$\frac{1}{2}$ と ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.4.14

$\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.4.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.5

$0$ から $\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x^{2} - 49$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]$ です。

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]}$

ステップ 1.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 49]}$

ステップ 1.3.8

$- 49$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 49$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 0}$

ステップ 1.3.9

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

ステップ 1.5

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x - 3}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}} \cdot \frac{1}{2 x}$

ステップ 1.6

因数をまとめます。

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ステップ 1.6.1

$\frac{1}{2 x}$ に $\frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$ をかけます。

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 x (2 \sqrt{x - 3})}$

ステップ 1.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{4 x \sqrt{x - 3}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to 7} \frac{1}{4 x \sqrt{x - 3}}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{4} lim_{x \to 7} \frac{1}{x \sqrt{x - 3}}$

ステップ 2.3

$x$ が $7$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 7} 1}{lim_{x \to 7} x \sqrt{x - 3}}$

ステップ 2.4

$x$ が $7$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \sqrt{x - 3}}$

ステップ 2.5

$x$ が $7$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}$

ステップ 2.6

根号の下に極限を移動させます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 3}}$

ステップ 2.7

$x$ が $7$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 3}}$

ステップ 2.8

$x$ が $7$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}$

ステップ 3

すべての $x$ に $7$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $7$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}$

ステップ 3.2

$x$ を $7$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot \sqrt{7 - 1 \cdot 3}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{7 - 3}}$

ステップ 4.1.2

$7$ から $3$ を引きます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{4}}$

ステップ 4.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{2^{2}}}$

ステップ 4.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot 2}$

ステップ 4.2

$7$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{14}$

ステップ 4.3

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{14}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1

$\frac{1}{14}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{1}{14 \cdot 4}$

ステップ 4.3.2

$14$ に $4$ をかけます。

$- \frac{1}{56}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{56}$

10進法形式：

$- 0.01785714 \dots$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例