微分積分学準備例

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + 2 x - 3}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 4 x + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 4 x + lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 4 x + lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

ステップ 1.1.2.3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ が $1$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 1} x + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

ステップ 1.1.2.5

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{2} - 4 lim_{x \to 1} x + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

ステップ 1.1.2.5.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{2} - 4 \cdot 1 + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

ステップ 1.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 4 \cdot 1 + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

ステップ 1.1.2.6.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 4 + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

ステップ 1.1.2.6.2

$1$ から $4$ を引きます。

$\frac{- 3 + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

ステップ 1.1.2.6.3

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 3}$

ステップ 1.1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 3}$

ステップ 1.1.3.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3}$

ステップ 1.1.3.4

$x$ が $1$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.5

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.5.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{1 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.6.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 + 2 - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.6.1.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{0}{1 + 2 - 3}$

ステップ 1.1.3.6.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{0}{3 - 3}$

ステップ 1.1.3.6.3

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + 2 x - 3} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 4 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

ステップ 1.3.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

ステップ 1.3.6

$2 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $x^{2} + 2 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.9

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.9.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.9.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.9.3

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.10

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2 + 0}$

ステップ 1.3.11

$2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2}$

ステップ 1.4

$2 x - 4$ と $2 x + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x) - 4}{2 x + 2}$

ステップ 1.4.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x) + 2 \cdot - 2}{2 x + 2}$

ステップ 1.4.3

$2$ を $2 (x) + 2 (- 2)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 x + 2}$

ステップ 1.4.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 (x) + 2}$

ステップ 1.4.4.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 (x) + 2 (1)}$

ステップ 1.4.4.3

$2$ を $2 (x) + 2 (1)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 (x + 1)}$

ステップ 1.4.4.4

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 (x + 1)}$

ステップ 1.4.4.5

式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{x - 2}{x + 1}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 1} x - 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

ステップ 2.2

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

ステップ 2.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

ステップ 2.4

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 2.5

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

ステップ 3

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

ステップ 3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{1 + 1}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1 - 2}{1 + 1}$

ステップ 4.1.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 1}{1 + 1}$

ステップ 4.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 1}{2}$

ステップ 4.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{2}$

10進法形式：

$- 0.5$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例