微分積分学準備例

$lim_{x \to - 1} \frac{{(x^{3} - 2 x - 1)}^{2}}{x^{4} - 2 x + 1}$

ステップ 1

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - 1} {(x^{3} - 2 x - 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

ステップ 2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(x^{3} - 2 x - 1)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x^{3} - 2 x - 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

ステップ 3

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x^{3} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

ステップ 4

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

ステップ 5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

ステップ 6

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

ステップ 7

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

ステップ 8

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $x^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

ステップ 9

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

ステップ 10

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

ステップ 11

すべての $x$ に $- 1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

ステップ 11.2

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

ステップ 11.3

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

ステップ 11.4

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

ステップ 12

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{{(- 1 - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

ステップ 12.1.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(- 1 + 2 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

ステップ 12.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(- 1 + 2 - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

ステップ 12.1.4

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{{(1 - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

ステップ 12.1.5

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

ステップ 12.1.6

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

ステップ 12.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$\frac{0}{1 - 2 \cdot - 1 + 1}$

ステップ 12.2.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{0}{1 + 2 + 1}$

ステップ 12.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{0}{3 + 1}$

ステップ 12.2.4

$3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{4}$

ステップ 12.3

$0$ を $4$ で割ります。

$0$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例