微分積分学準備例

$\sum_{1}^{10} {(x - 14)}^{2}$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

${(x - 14)}^{2}$ を $(x - 14) (x - 14)$ に書き換えます。

$(x - 14) (x - 14)$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 14) (x - 14)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$x (x - 14) - 14 (x - 14)$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 14 - 14 (x - 14)$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 14 - 14 x - 14 \cdot - 14$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 14 - 14 x - 14 \cdot - 14$

ステップ 1.3.1.2

$- 14$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 14 \cdot x - 14 x - 14 \cdot - 14$

ステップ 1.3.1.3

$- 14$ に $- 14$ をかけます。

$x^{2} - 14 x - 14 x + 196$

ステップ 1.3.2

$- 14 x$ から $14 x$ を引きます。

$x^{2} - 28 x + 196$

ステップ 1.4

総和を書き換えます。

$\sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 28 x + 196$

ステップ 2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 28 x + 196 = \sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 28 \sum_{x = 1}^{10} x + \sum_{x = 1}^{10} 196$

ステップ 3

$\sum_{x = 1}^{10} x^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 3.2

値を公式に代入します。

$\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$10$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

$2$ を $10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{6}$

ステップ 3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 (3)}$

ステップ 3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{3}$

ステップ 3.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$2$ に $10$ をかけます。

$\frac{5 (10 + 1) (20 + 1)}{3}$

ステップ 3.3.2.2

$10$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5 \cdot 11 (20 + 1)}{3}$

ステップ 3.3.2.3

$5$ に $11$ をかけます。

$\frac{55 (20 + 1)}{3}$

ステップ 3.3.2.4

$20$ と $1$ をたし算します。

$\frac{55 \cdot 21}{3}$

ステップ 3.3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$55$ に $21$ をかけます。

$\frac{1155}{3}$

ステップ 3.3.3.2

$1155$ を $3$ で割ります。

$385$

ステップ 4

$28 \sum_{x = 1}^{10} x$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 4.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(- 28) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$10$ と $1$ をたし算します。

$- 28 \frac{10 \cdot 11}{2}$

ステップ 4.3.1.2

$10$ に $11$ をかけます。

$- 28 (\frac{110}{2})$

ステップ 4.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1

$2$ を $- 28$ で因数分解します。

$2 (- 14) \frac{110}{2}$

ステップ 4.3.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 14 \frac{110}{2}$

ステップ 4.3.2.3

式を書き換えます。

$- 14 \cdot 110$

ステップ 4.3.3

$- 14$ に $110$ をかけます。

$- 1540$

ステップ 5

$\sum_{x = 1}^{10} 196$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 5.2

値を公式に代入します。

$(196) (10)$

ステップ 5.3

$196$ に $10$ をかけます。

$1960$

ステップ 6

合計した結果をたします。

$385 - 1540 + 1960$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$385$ から $1540$ を引きます。

$- 1155 + 1960$

ステップ 7.2

$- 1155$ と $1960$ をたし算します。

$805$

微分積分学準備 例

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