微分積分学準備例

$\sum_{i = 1}^{17} 1 + {(- 1)}^{i}$

ステップ 1

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{k = 1}^{17} 1 + {(- 1)}^{i} = \sum_{k = 1}^{17} 1 + \sum_{k = 1}^{17} {(- 1)}^{i}$

ステップ 2

$\sum_{k = 1}^{17} 1$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 2.2

値を公式に代入します。

$(1) (17)$

ステップ 2.3

$17$ に $1$ をかけます。

$17$

ステップ 3

$\sum_{k = 1}^{17} {(- 1)}^{i}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 3.2

公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 3.2.1

$a_{k}$ と $a_{k + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{{(- 1)}^{i + 1}}{{(- 1)}^{i}}$

ステップ 3.2.2

${(- 1)}^{i + 1}$ と ${(- 1)}^{i}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

${(- 1)}^{i}$ を ${(- 1)}^{i + 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(- 1)}^{i} \cdot - 1}{{(- 1)}^{i}}$

ステップ 3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(- 1)}^{i} \cdot - 1}{{(- 1)}^{i} \cdot 1}$

ステップ 3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(- 1)}^{i} \cdot - 1}{{(- 1)}^{i} \cdot 1}$

ステップ 3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{- 1}{1}$

ステップ 3.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$r = - 1$

ステップ 3.3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.3.1

$i$ の $1$ を ${(- 1)}^{i}$ に代入します。

$a = {(- 1)}^{1}$

ステップ 3.3.2

指数を求めます。

$a = - 1$

ステップ 3.4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$- \frac{1 - {(- 1)}^{17}}{1 - - 1}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{17}$ を掛けます。

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ステップ 3.5.1.1.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{17}$ をかけます。

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ステップ 3.5.1.1.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{17}}{1 - - 1}$

ステップ 3.5.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 17}}{1 - - 1}$

ステップ 3.5.1.1.2

$1$ と $17$ をたし算します。

$- \frac{1 + {(- 1)}^{18}}{1 - - 1}$

ステップ 3.5.1.2

$- 1$ を $18$ 乗します。

$- \frac{1 + 1}{1 - - 1}$

ステップ 3.5.1.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2}{1 - - 1}$

ステップ 3.5.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{2}{1 + 1}$

ステップ 3.5.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2}{2}$

ステップ 3.5.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2}{2}$

ステップ 3.5.3.2

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 3.5.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 4

合計した結果を足します。

$17 - 1$

ステップ 5

$17$ から $1$ を引きます。

$16$

微分積分学準備 例

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