微分積分学準備例

$\sum_{i = 1}^{50} 2^{2 i}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{i}$ と $a_{i + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{2^{2 (i + 1)}}{2^{2 i}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2^{2 (i + 1)}$ と $2^{2 i}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

$2^{2 i}$ を $2^{2 (i + 1)}$ で因数分解します。

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i}}$

ステップ 2.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i} \cdot 1}$

ステップ 2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i} \cdot 1}$

ステップ 2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{2^{2 (i + 1) - 2 i}}{1}$

ステップ 2.2.1.2.4

$2^{2 (i + 1) - 2 i}$ を $1$ で割ります。

$r = 2^{2 (i + 1) - 2 i}$

ステップ 2.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

分配則を当てはめます。

$r = 2^{2 i + 2 \cdot 1 - 2 i}$

ステップ 2.2.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$r = 2^{2 i + 2 - 2 i}$

ステップ 2.2.3

$2 i + 2 - 2 i$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.2.3.1

$2 i$ から $2 i$ を引きます。

$r = 2^{0 + 2}$

ステップ 2.2.3.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$r = 2^{2}$

ステップ 2.2.4

$2$ を $2$ 乗します。

$r = 4$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$i$ の $1$ を $2^{2 i}$ に代入します。

$a = 2^{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$a = 2^{2}$

ステップ 3.2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$a = 4$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$4 \frac{1 - 4^{50}}{1 - 1 \cdot 4}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分母を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$4 \frac{1 - 4^{50}}{1 - 4}$

ステップ 5.1.2

$1$ から $4$ を引きます。

$4 \frac{1 - 4^{50}}{- 3}$

ステップ 5.2

分数の前に負数を移動させます。

$4 (- \frac{1 - 4^{50}}{3})$

ステップ 5.3

$4 (- \frac{1 - 4^{50}}{3})$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 \frac{1 - 4^{50}}{3}$

ステップ 5.3.2

$- 4$ と $\frac{1 - 4^{50}}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4 (1 - 4^{50})}{3}$

ステップ 5.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 (1 - 4^{50})}{3}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{4 (1 - 4^{50})}{3}$

10進法形式：

$1.6902008 \cdot 10^{30}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例