微分積分学準備例

$[\begin{array}{c} - 1 & \cos (c) & \cos (b) \\ \cos (c) & - 1 & \cos (a) \\ \cos (b) & \cos (a) & - 1 \end{array}]$

ステップ 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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ステップ 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & \cos (a) \\ \cos (a) & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 1 & \cos (a) \\ \cos (a) & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- \cos (c) | \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

ステップ 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$\cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

ステップ 1.9

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} - 1 & \cos (a) \\ \cos (a) & - 1 \end{array} | - \cos (c) | \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} | + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

ステップ 2

$| \begin{array}{c} - 1 & \cos (a) \\ \cos (a) & - 1 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$- 1 (- - 1 - \cos (a) \cos (a)) - \cos (c) | \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} | + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

ステップ 2.2

行列式を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 (1 - \cos (a) \cos (a)) - \cos (c) | \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} | + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

ステップ 2.2.1.2

$- \cos (a) \cos (a)$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

$\cos (a)$ を $1$ 乗します。

$- 1 (1 - (\cos^{1} (a) \cos (a))) - \cos (c) | \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} | + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

ステップ 2.2.1.2.2

$\cos (a)$ を $1$ 乗します。

$- 1 (1 - (\cos^{1} (a) \cos^{1} (a))) - \cos (c) | \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} | + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

ステップ 2.2.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 1 (1 - {\cos (a)}^{1 + 1}) - \cos (c) | \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} | + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

ステップ 2.2.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 1 (1 - \cos^{2} (a)) - \cos (c) | \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} | + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

ステップ 2.2.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- 1 \sin^{2} (a) - \cos (c) | \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} | + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

ステップ 3

$| \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$- 1 \sin^{2} (a) - \cos (c) (\cos (c) \cdot - 1 - \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ を $\cos (c)$ の左に移動させます。

$- 1 \sin^{2} (a) - \cos (c) (- 1 \cdot \cos (c) - \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

ステップ 3.2.2

$- 1 \cos (c)$ を $- \cos (c)$ に書き換えます。

$- 1 \sin^{2} (a) - \cos (c) (- \cos (c) - \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

ステップ 4

$| \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$- 1 \sin^{2} (a) - \cos (c) (- \cos (c) - \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) - \cos (b) \cdot - 1)$

ステップ 4.2

$- \cos (b) \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 \sin^{2} (a) - \cos (c) (- \cos (c) - \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + 1 \cos (b))$

ステップ 4.2.2

$\cos (b)$ に $1$ をかけます。

$- 1 \sin^{2} (a) - \cos (c) (- \cos (c) - \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

ステップ 5

行列式を簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- 1 \sin^{2} (a)$ を $- \sin^{2} (a)$ に書き換えます。

$- \sin^{2} (a) - \cos (c) (- \cos (c) - \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

ステップ 5.1.2

分配則を当てはめます。

$- \sin^{2} (a) - \cos (c) (- \cos (c)) - \cos (c) (- \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

ステップ 5.1.3

$- \cos (c) (- \cos (c))$ を掛けます。

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ステップ 5.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \sin^{2} (a) + 1 \cos (c) \cos (c) - \cos (c) (- \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

ステップ 5.1.3.2

$\cos (c)$ に $1$ をかけます。

$- \sin^{2} (a) + \cos (c) \cos (c) - \cos (c) (- \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

ステップ 5.1.3.3

$\cos (c)$ を $1$ 乗します。

$- \sin^{2} (a) + \cos^{1} (c) \cos (c) - \cos (c) (- \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

ステップ 5.1.3.4

$\cos (c)$ を $1$ 乗します。

$- \sin^{2} (a) + \cos^{1} (c) \cos^{1} (c) - \cos (c) (- \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

ステップ 5.1.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \sin^{2} (a) + {\cos (c)}^{1 + 1} - \cos (c) (- \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

ステップ 5.1.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) - \cos (c) (- \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

ステップ 5.1.4

$- \cos (c) (- \cos (b) \cos (a))$ を掛けます。

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ステップ 5.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) + 1 \cos (c) (\cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

ステップ 5.1.4.2

$\cos (c)$ に $1$ をかけます。

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) + \cos (c) (\cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

ステップ 5.1.5

分配則を当てはめます。

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) + \cos (c) \cos (b) \cos (a) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a)) + \cos (b) \cos (b)$

ステップ 5.1.6

$\cos (b) \cos (b)$ を掛けます。

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ステップ 5.1.6.1

$\cos (b)$ を $1$ 乗します。

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) + \cos (c) \cos (b) \cos (a) + \cos (b) \cos (c) \cos (a) + \cos^{1} (b) \cos (b)$

ステップ 5.1.6.2

$\cos (b)$ を $1$ 乗します。

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) + \cos (c) \cos (b) \cos (a) + \cos (b) \cos (c) \cos (a) + \cos^{1} (b) \cos^{1} (b)$

ステップ 5.1.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) + \cos (c) \cos (b) \cos (a) + \cos (b) \cos (c) \cos (a) + {\cos (b)}^{1 + 1}$

ステップ 5.1.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) + \cos (c) \cos (b) \cos (a) + \cos (b) \cos (c) \cos (a) + \cos^{2} (b)$

ステップ 5.2

$\cos (c) \cos (b) \cos (a)$ と $\cos (b) \cos (c) \cos (a)$ について因数を並べ替えます。

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) + \cos (a) \cos (b) \cos (c) + \cos (a) \cos (b) \cos (c) + \cos^{2} (b)$

ステップ 5.3

$\cos (a) \cos (b) \cos (c)$ と $\cos (a) \cos (b) \cos (c)$ をたし算します。

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) + 2 \cos (a) \cos (b) \cos (c) + \cos^{2} (b)$

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