微分積分学準備例

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{8 x + 1}}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} 8 x + 1}}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} 8 x + lim_{x \to 1} 1}}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

ステップ 1.3

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{8 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

ステップ 1.4

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{8 lim_{x \to 1} x + 1}}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

ステップ 2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{8 \cdot 1 + 1}}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{8 + 1}}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

ステップ 3.2

$8$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{9}}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

ステップ 3.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

ステップ 3.3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1^{2} - x^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{3}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)}$

微分積分学準備 例

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