微分積分学準備例

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x} - 2 - 1}{x^{2} - 2 x - 3}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x} - lim_{x \to 3} 2 - lim_{x \to 3} 1}{x^{2} - 2 x - 3}$

ステップ 1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x} - lim_{x \to 3} 2 - lim_{x \to 3} 1}{x^{2} - 2 x - 3}$

ステップ 1.3

$x$ が $3$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x} - 1 \cdot 2 - lim_{x \to 3} 1}{x^{2} - 2 x - 3}$

ステップ 1.4

$x$ が $3$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x} - 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1}{x^{2} - 2 x - 3}$

ステップ 2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{3} - 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1}{x^{2} - 2 x - 3}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3} - 2 - 1 \cdot 1}{x^{2} - 2 x - 3}$

ステップ 3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3} - 2 - 1}{x^{2} - 2 x - 3}$

ステップ 3.1.3

$- 2$ から $1$ を引きます。

$\frac{\sqrt{3} - 3}{x^{2} - 2 x - 3}$

ステップ 3.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 3.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{\sqrt{3} - 3}{(x - 3) (x + 1)}$

微分積分学準備 例