微分積分学準備例

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} + 2 x + 1}{x^{3} - 8}$

ステップ 1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

ステップ 2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

ステップ 3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

ステップ 4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

ステップ 5

$x$ が $2$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x + 1}{x^{3} - 8}$

ステップ 6

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 6.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \cdot 2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x + 1}{x^{3} - 8}$

ステップ 6.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1}{x^{3} - 8}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 1}{x^{3} - 8}$

ステップ 7.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{12 + 2 \cdot 2 + 1}{x^{3} - 8}$

ステップ 7.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 + 4 + 1}{x^{3} - 8}$

ステップ 7.1.4

$12$ と $4$ をたし算します。

$\frac{16 + 1}{x^{3} - 8}$

ステップ 7.1.5

$16$ と $1$ をたし算します。

$\frac{17}{x^{3} - 8}$

ステップ 7.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{17}{x^{3} - 2^{3}}$

ステップ 7.2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{17}{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

ステップ 7.2.3

簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{17}{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}$

ステップ 7.2.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{17}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例