微分積分学準備例

$8 \log_{2} (\sqrt{3 x - 2}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の中の $8$ を移動させて $8 \log_{2} (\sqrt{3 x - 2})$ を簡約します。

$\log_{2} ({\sqrt{3 x - 2}}^{8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

ステップ 1.2

${\sqrt{3 x - 2}}^{8}$ を ${(3 x - 2)}^{4}$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 x - 2}$ を ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\log_{2} ({({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

ステップ 1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

ステップ 1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $8$ をまとめます。

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{8}{2}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

ステップ 1.2.4

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

ステップ 1.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

ステップ 1.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

ステップ 1.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{4}{1}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

ステップ 1.2.4.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

ステップ 1.3

$4$ の対数の底 $2$ は $2$ です。

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + 2$

ステップ 2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4}}{\frac{4}{x}}) + 2$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4} \frac{x}{4}) + 2$

ステップ 3.2

${(3 x - 2)}^{4}$ と $\frac{x}{4}$ をまとめます。

$\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4} x}{4}) + 2$

ステップ 4

$\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4} x}{4}) + 2$ の因数を並べ替えます。

$\log_{2} (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + 2$

ステップ 5

底の変換の公式を利用して $\log_{2} (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})$ を書き換えます。

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ステップ 5.1

$a$ と $b$ が $0$ より大きく $1$ に等しくない場合、および $x$ が $0$ より大きい場合、底の変換の法則を使用することができます。

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + 2$

ステップ 5.2

$b = 10$ を使用して、基数変更の公式の変数の値に代入します。

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})}{\log (2)} + 2$

ステップ 6

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\log (2)}{\log (2)}$ を掛けます。

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})}{\log (2)} + \frac{2 \log (2)}{\log (2)}$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + 2 \log (2)}{\log (2)}$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \log (2)$ を簡約します。

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + \log (2^{2})}{\log (2)}$

ステップ 8.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + \log (4)}{\log (2)}$

ステップ 8.3

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4} \cdot 4)}{\log (2)}$

ステップ 8.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4} \cdot 4)}{\log (2)}$

ステップ 8.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\log (x {(3 x - 2)}^{4})}{\log (2)}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例