微分積分学準備例

$\tan (\frac{23 π}{12})$

ステップ 1

まず、6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。この場合、 $\frac{23 π}{12}$ は $\frac{5 π}{3} + \frac{π}{4}$ に分割することができます。

$\tan (\frac{5 π}{3} + \frac{π}{4})$

ステップ 2

正切の和の公式を利用して式を簡約します。公式は $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ ということが述べられています。

$\frac{\tan (\frac{5 π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正切は第四象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{- \tan (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 3.2

$\tan (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$\frac{- \sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 3.3

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正切は第四象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 4.2

$\tan (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 4.3

$- - \sqrt{3}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + 1 \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 4.3.2

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 4.4

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

ステップ 4.5

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$

ステップ 5

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ に $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

ステップ 6

分数をまとめます。

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ステップ 6.1

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ に $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

ステップ 6.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 6.3

簡約します。

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

項を並べ替えます。

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 7.2

$1 - \sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 7.3

$1 - \sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

ステップ 7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

ステップ 7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

ステップ 8

${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ を $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ に書き換えます。

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 9

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ を展開します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 9.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 9.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 10

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 10.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 10.1.2

$- \sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 10.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 10.1.4

$- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ を掛けます。

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ステップ 10.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 10.1.4.2

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 10.1.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 10.1.4.4

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{- 2}$

ステップ 10.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 2}$

ステップ 10.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{- 2}$

ステップ 10.1.5

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 10.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2}$

ステップ 10.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2}$

ステップ 10.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

ステップ 10.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

ステップ 10.1.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}}{- 2}$

ステップ 10.1.5.5

指数を求めます。

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{- 2}$

ステップ 10.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 10.3

$- \sqrt{3}$ から $\sqrt{3}$ を引きます。

$\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 11

$4 - 2 \sqrt{3}$ と $- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 11.2

$2$ を $- 2 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 11.3

$2$ を $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 11.4

$\frac{2 - \sqrt{3}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$

ステップ 12

$- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$ を $- (2 - \sqrt{3})$ に書き換えます。

$- (2 - \sqrt{3})$

ステップ 13

分配則を当てはめます。

$- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}$

ステップ 14

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 - - \sqrt{3}$

ステップ 15

$- - \sqrt{3}$ を掛けます。

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ステップ 15.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 + 1 \sqrt{3}$

ステップ 15.2

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$- 2 + \sqrt{3}$

ステップ 16

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- 2 + \sqrt{3}$

10進法形式：

$- 0.26794919 \dots$

微分積分学準備 例

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