微分積分学準備例

$\sin (\arcsin (x) + \arccos (x))$

ステップ 1

正弦の和の公式を利用して式を簡約します。公式は $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ ということが述べられています。

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

ステップ 2

括弧を削除します。

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

ステップ 3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

関数の正弦と逆正弦は逆です。

$x \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

ステップ 3.2

関数の余弦と逆余弦は逆です。

$x \cdot x + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

ステップ 3.3

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

ステップ 3.4

交点 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arcsin (x))$ は $\sqrt{1 - x^{2}}$ です。

$x^{2} + \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

ステップ 3.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} + \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

ステップ 3.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (x))$

ステップ 3.7

交点 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 、 $(x, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arccos (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\arccos (x))$ は $\sqrt{1 - x^{2}}$ です。

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - x^{2}}$

ステップ 3.8

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

ステップ 3.9

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 3.10

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を掛けます。

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ステップ 3.10.1

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ 乗します。

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 3.10.2

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ 乗します。

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}$

ステップ 3.10.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}$

ステップ 3.10.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

ステップ 3.11

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ を $(1 + x) (1 - x)$ に書き換えます。

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ステップ 3.11.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x^{2} + {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 3.11.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 3.11.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 3.11.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.11.4.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 3.11.4.2

式を書き換えます。

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

ステップ 3.11.5

簡約します。

$x^{2} + (1 + x) (1 - x)$

ステップ 3.12

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + x) (1 - x)$ を展開します。

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ステップ 3.12.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 1 (1 - x) + x (1 - x)$

ステップ 3.12.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

ステップ 3.12.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

ステップ 3.13

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.13.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.13.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

ステップ 3.13.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

ステップ 3.13.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + 1 - x + x + x (- x)$

ステップ 3.13.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} + 1 - x + x - x \cdot x$

ステップ 3.13.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.13.1.5.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} + 1 - x + x - (x \cdot x)$

ステップ 3.13.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + 1 - x + x - x^{2}$

ステップ 3.13.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$x^{2} + 1 + 0 - x^{2}$

ステップ 3.13.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} + 1 - x^{2}$

ステップ 4

$x^{2} + 1 - x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$0 + 1$

ステップ 4.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

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