微分積分学準備例

$\cos (\frac{3 π}{4} - \frac{7 π}{4})$

ステップ 1

余弦の差分の公式を利用して式を簡約します。公式は $\cos (A - B) = \cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B)$ ということが述べられています。

$\cos (\frac{3 π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 2

括弧を削除します。

$\cos (\frac{3 π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- \cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.4

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.5

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.5.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.5.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.5.6

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.6.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{2^{1}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.6.5

指数を求めます。

$- \frac{2}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.7

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2 (1)}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.7.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.7.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.8

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- \frac{1}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.9

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 3.10

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 3.11

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 3.12

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ を掛けます。

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ステップ 3.12.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.12.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.12.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.12.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.12.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.12.6

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4}$

ステップ 3.13

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.13.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

ステップ 3.13.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

ステップ 3.13.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 3.13.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.13.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 3.13.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{1}}{4}$

ステップ 3.13.5

指数を求めます。

$- \frac{1}{2} - \frac{2}{4}$

ステップ 3.14

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.14.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2} - \frac{2 (1)}{4}$

ステップ 3.14.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.14.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.14.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.14.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 4

分数をまとめます。

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ステップ 4.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 - 1}{2}$

ステップ 4.2

式を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 2}{2}$

ステップ 4.2.2

$- 2$ を $2$ で割ります。

$- 1$

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