微分積分学準備例

$\sec (\frac{13 π}{12})$

ステップ 1

基本恒等式を利用して $\sec (\frac{13 π}{12})$ を同値である式 $\frac{1}{\cos (\frac{13 π}{12})}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\cos (\frac{13 π}{12})}$

ステップ 2

分母の和の公式または差の公式を利用してます。

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ステップ 2.1

まず、6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。この場合、 $\frac{13 π}{12}$ は $\frac{3 π}{4} + \frac{π}{3}$ に分割することができます。

$\frac{1}{\cos (\frac{3 π}{4} + \frac{π}{3})}$

ステップ 2.2

余弦の和の公式を利用して式を簡約します。公式は $\cos (A + B) = - (\cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B))$ ということが述べられています。

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3}) \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) - \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

ステップ 2.3

括弧を削除します。

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3}) \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) - \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

ステップ 2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) - \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

ステップ 2.4.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4})) - \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

ステップ 2.4.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

ステップ 2.4.4

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ を掛けます。

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ステップ 2.4.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

ステップ 2.4.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} - \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

ステップ 2.4.5

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

ステップ 2.4.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

ステップ 2.4.7

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

ステップ 2.4.8

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.4.8.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.4.8.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.4.8.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.4.8.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}}$

ステップ 3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \frac{4}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$

ステップ 3.3

$\frac{4}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$

ステップ 3.4

$\frac{4}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ に $\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ をかけます。

$\frac{4}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}} \cdot \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

ステップ 3.5

$\frac{4}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ に $\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ をかけます。

$\frac{4 (- \sqrt{2} + \sqrt{6})}{(- \sqrt{2} - \sqrt{6}) (- \sqrt{2} + \sqrt{6})}$

ステップ 3.6

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{4 (- \sqrt{2} + \sqrt{6})}{{\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{12} + \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

ステップ 3.7

簡約します。

$\frac{4 (- \sqrt{2} + \sqrt{6})}{- 4}$

ステップ 3.8

式を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$- 1 \cdot (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$

ステップ 3.8.2

$- 1 \cdot (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$ を $- (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$ に書き換えます。

$- (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$

ステップ 3.9

分配則を当てはめます。

$- - \sqrt{2} - \sqrt{6}$

ステップ 3.10

$- - \sqrt{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \sqrt{2} - \sqrt{6}$

ステップ 3.10.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{2} - \sqrt{6}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\sqrt{2} - \sqrt{6}$

10進法形式：

$- 1.03527618 \dots$

微分積分学準備 例

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