微分積分学準備例

$\csc (\frac{15 π}{8})$

ステップ 1

基本恒等式を利用して $\csc (\frac{15 π}{8})$ を同値である式 $\frac{1}{\sin (\frac{15 π}{8})}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sin (\frac{15 π}{8})}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{\sin (\frac{15 π}{8})}$ を $\csc (\frac{15 π}{8})$ に変換します。

$\csc (\frac{15 π}{8})$

ステップ 2.2

$\csc (\frac{15 π}{8})$ の厳密値は $- \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$ です。

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ステップ 2.2.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{15 π}{8}$ を書き直します。

$\csc (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})$

ステップ 2.2.2

$\csc (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\sin (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})}$

ステップ 2.2.3

制限半角の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

ステップ 2.2.4

Change the $\pm$ to $-$ because cosecant is negative in the fourth quadrant.

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.5.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

ステップ 2.2.5.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

ステップ 2.2.5.2

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}}$

ステップ 2.2.5.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}}$

ステップ 2.2.5.2.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

ステップ 2.2.5.2.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

ステップ 2.2.5.2.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}$

ステップ 2.2.5.3

分母を簡約します。

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ステップ 2.2.5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}$

ステップ 2.2.5.3.2

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.5.3.2.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}$

ステップ 2.2.5.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}$

ステップ 2.2.5.3.3

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}$

ステップ 2.2.5.3.4

分母を簡約します。

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ステップ 2.2.5.3.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}$

ステップ 2.2.5.3.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{1}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}$

ステップ 2.2.5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (1 \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}})$

ステップ 2.2.5.5

$\frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$

10進法形式：

$- 2.61312592 \dots$

微分積分学準備 例

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