微分積分学準備例

$\csc (\frac{5 π}{12})$

ステップ 1

基本恒等式を利用して $\csc (\frac{5 π}{12})$ を同値である式 $\frac{1}{\sin (\frac{5 π}{12})}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sin (\frac{5 π}{12})}$

ステップ 2

分母の和の公式または差の公式を利用してます。

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ステップ 2.1

まず、6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。この場合、 $\frac{5 π}{12}$ は $\frac{π}{6} + \frac{π}{4}$ に分割することができます。

$\frac{1}{\sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})}$

ステップ 2.2

正弦の和の公式を利用して式を簡約します。公式は $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ ということが述べられています。

$\frac{1}{\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}$

ステップ 2.3

括弧を削除します。

$\frac{1}{\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}$

ステップ 2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}$

ステップ 2.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}$

ステップ 2.4.3

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.4.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}$

ステップ 2.4.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}$

ステップ 2.4.4

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

ステップ 2.4.5

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

ステップ 2.4.6

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.4.6.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.4.6.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.4.6.3

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.4.6.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}$

ステップ 3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$

ステップ 3.3

$\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$

ステップ 3.4

$\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ に $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ をかけます。

$\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$

ステップ 3.5

$\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ に $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ をかけます。

$\frac{4 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} - \sqrt{6})}$

ステップ 3.6

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{4 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{{\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{12} + \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

ステップ 3.7

簡約します。

$\frac{4 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{- 4}$

ステップ 3.8

式を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})$

ステップ 3.8.2

$- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ を $- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ に書き換えます。

$- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$

ステップ 3.9

分配則を当てはめます。

$- \sqrt{2} - - \sqrt{6}$

ステップ 3.10

$- - \sqrt{6}$ を掛けます。

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ステップ 3.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \sqrt{2} + 1 \sqrt{6}$

ステップ 3.10.2

$\sqrt{6}$ に $1$ をかけます。

$- \sqrt{2} + \sqrt{6}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \sqrt{2} + \sqrt{6}$

10進法形式：

$1.03527618 \dots$

微分積分学準備 例

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