微分積分学準備例

$\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \sin (x)$ であり、 $b = \cos (x)$ です。

$\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}$

ステップ 2.2

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ と $\sin (x) + \cos (x)$ の共通因数を約分します。

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 3

項を並べ替えます。

$\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 4

$\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$ を $\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 5

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$ は公式です

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