微分積分学準備例

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1) = - \sin (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1)$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc (x)) (\cos (x) + 1)$

ステップ 2.1.2

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) + 1)$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) + 1)$ を展開します。

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ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\cos (x) + 1) - \frac{1}{\sin (x)} (\cos (x) + 1)$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} (\cos (x) + 1)$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

ステップ 2.3.1.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

ステップ 2.3.1.1.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

ステップ 2.3.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

ステップ 2.3.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

ステップ 2.3.1.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

ステップ 2.3.1.3

$\cos (x)$ と $\frac{1}{\sin (x)}$ をまとめます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

ステップ 2.3.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 2.3.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ から $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を引きます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + 0 - \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 2.3.3

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin (x)}$

ステップ 2.5

$\cos^{2} (x)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.6

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.7

$- 1$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

ステップ 2.8

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

ステップ 2.9

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ を $- (1 - \cos^{2} (x))$ に書き換えます。

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

ステップ 2.10

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.11

$\sin^{2} (x)$ と $\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.11.1

$\sin (x)$ を $- \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 2.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.11.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

ステップ 2.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

ステップ 2.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- \sin (x)}{1}$

ステップ 2.11.2.4

$- \sin (x)$ を $1$ で割ります。

$- \sin (x)$

ステップ 3

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1) = - \sin (x)$ は公式です

微分積分学準備 例

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