微分積分学準備例

$\frac{1 - \cos (t)}{\sin (t)} = \frac{\sin (t)}{1 + \cos (t)}$

ステップ 1

右辺から始めます。

$\frac{\sin (t)}{1 + \cos (t)}$

ステップ 2

$\frac{\sin (t)}{1 + \cos (t)}$ に $\frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)}$ をかけます。

$\frac{\sin (t)}{1 + \cos (t)} \cdot \frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)}$

ステップ 3

まとめる。

$\frac{\sin (t) (1 - \cos (t))}{(1 + \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (t) \cdot 1 + \sin (t) (- \cos (t))}{(1 + \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

ステップ 4.2

$\sin (t)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (t) + \sin (t) (- \cos (t))}{(1 + \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

ステップ 4.3

$\sin (t) + \sin (t) (- \cos (t))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\sin (t) - \sin (t) \cos (t)}{(1 + \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \cos (t)) (1 - \cos (t))$ を展開します。

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ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (t) - \sin (t) \cos (t)}{1 (1 - \cos (t)) + \cos (t) (1 - \cos (t))}$

ステップ 5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (t) - \sin (t) \cos (t)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (t)) + \cos (t) (1 - \cos (t))}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (t) - \sin (t) \cos (t)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \cos (t))}$

ステップ 5.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{\sin (t) - \sin (t) \cos (t)}{1 - \cos^{2} (t)}$

ステップ 6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\sin (t) - \sin (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\sin (t)$ を $\sin (t) - \sin (t) \cos (t)$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\sin (t) \cdot 1 - \sin (t) \cos (t)}{{\sin (t)}^{2}}$

ステップ 7.1.2

$\sin (t)$ を $- \sin (t) \cos (t)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (t) \cdot 1 + \sin (t) (- \cos (t))}{{\sin (t)}^{2}}$

ステップ 7.1.3

$\sin (t)$ を $\sin (t) \cdot 1 + \sin (t) (- \cos (t))$ で因数分解します。

$\frac{\sin (t) (1 - \cos (t))}{{\sin (t)}^{2}}$

ステップ 7.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 - \cos (t)}{\sin (t)}$

ステップ 8

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1 - \cos (t)}{\sin (t)} = \frac{\sin (t)}{1 + \cos (t)}$ は公式です

微分積分学準備 例

微分積分学準備例