微分積分学準備例

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)}$

ステップ 2.2

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ に $\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 4

まとめる。

$\frac{1 (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 5

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 6.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

ステップ 6.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.1.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.2

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.2.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.2.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.2.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.3.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.3.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.4.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.4.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.4.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

ステップ 6.2.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.4.6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}}$

ステップ 6.2.1.4.7

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

ステップ 6.2.1.4.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1 + 1}}}$

ステップ 6.2.1.4.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) + \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 6.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 6.4

$\sin (x)$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 6.5

完全平方式を利用して因数分解します。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 7

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}}$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 8.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 8.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 8.3

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1

$1 + \sin (x)$ を ${(1 + \sin (x))}^{2}$ で因数分解します。

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

ステップ 8.3.2

共通因数を約分します。

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

ステップ 8.3.3

式を書き換えます。

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

ステップ 8.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

ステップ 8.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

ステップ 8.6

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

ステップ 8.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

ステップ 8.8

各項を簡約します。

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ステップ 8.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

ステップ 8.8.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

ステップ 8.8.3

$\sin (x) (- \sin (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.8.3.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x))}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

ステップ 8.8.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

ステップ 8.8.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

ステップ 8.8.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

ステップ 8.9

$- \sin (x)$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$\frac{1 + 0 - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

ステップ 8.10

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

ステップ 8.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.11.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

ステップ 8.11.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

ステップ 8.12

$1 + \sin (x)$ の共通因数を約分します。

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 9

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ は公式です

微分積分学準備 例

微分積分学準備例