微分積分学準備例

$lim_{n \to \infty} \frac{4 n^{3} + 7 n^{2}}{5 n^{3} - 7 n^{2} + 3}$

ステップ 1

分子と分母を分母の $n$ の最大べき乗で割ると、 $n^{3}$ です。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4 n^{3}}{n^{3}} + \frac{7 n^{2}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$n^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4 n^{3}}{n^{3}} + \frac{7 n^{2}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 2.1.1.2

$4$ を $1$ で割ります。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7 n^{2}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 2.1.2

$n^{2}$ と $n^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$n^{2}$ を $7 n^{2}$ で因数分解します。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{n^{2} \cdot 7}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 2.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$n^{2}$ を $n^{3}$ で因数分解します。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{n^{2} \cdot 7}{n^{2} n}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 2.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{n^{2} \cdot 7}{n^{2} n}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 2.1.2.2.3

式を書き換えます。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$n^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 2.2.1.2

$5$ を $1$ で割ります。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{5 + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 2.2.2

$n^{2}$ と $n^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

$n^{2}$ を $- 7 n^{2}$ で因数分解します。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{5 + \frac{n^{2} \cdot - 7}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$n^{2}$ を $n^{3}$ で因数分解します。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{5 + \frac{n^{2} \cdot - 7}{n^{2} n} + \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{5 + \frac{n^{2} \cdot - 7}{n^{2} n} + \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{5 + \frac{- 7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{5 - \frac{7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 2.3

$n$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{n \to \infty} 4 + \frac{7}{n}}{lim_{n \to \infty} 5 - \frac{7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 2.4

$n$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{n \to \infty} 4 + lim_{n \to \infty} \frac{7}{n}}{lim_{n \to \infty} 5 - \frac{7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 2.5

$n$ が $\infty$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{4 + lim_{n \to \infty} \frac{7}{n}}{lim_{n \to \infty} 5 - \frac{7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 2.6

$7$ の項は $n$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 + 7 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}{lim_{n \to \infty} 5 - \frac{7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{n}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{lim_{n \to \infty} 5 - \frac{7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$n$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{lim_{n \to \infty} 5 - lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 4.2

$n$ が $\infty$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{5 - lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 4.3

$7$ の項は $n$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{5 - 7 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{n}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{5 - 7 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{3}}}$

ステップ 6

$3$ の項は $n$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{5 - 7 \cdot 0 + 3 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

ステップ 7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{n^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{5 - 7 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$7$ に $0$ をかけます。

$\frac{4 + 0}{5 - 7 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

ステップ 8.1.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{5 - 7 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

ステップ 8.2

分母を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$- 7$ に $0$ をかけます。

$\frac{4}{5 + 0 + 3 \cdot 0}$

ステップ 8.2.2

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{4}{5 + 0 + 0}$

ステップ 8.2.3

$5 + 0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{5 + 0}$

ステップ 8.2.4

$5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{5}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{4}{5}$

10進法形式：

$0.8$

微分積分学準備 例

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