微分積分学準備例

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x) = \csc^{2} (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 2.1

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\sin (x)} (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

ステップ 2.2

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

ステップ 2.3

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x) + \cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.2

$- \cos (x)$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) + 0}{\sin (x)}$

ステップ 3.3

$\sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.4

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.4.2

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.2.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ に $\frac{1}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.4.2.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.4.2.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.4.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.4.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.4.3

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.3.1

$\sin (x)$ を $- \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (\sin (x) \cdot - 1) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.4.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (\sin (x) \cdot - 1) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.4.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.4.4

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + 1$

ステップ 3.5

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + 0$

ステップ 3.6

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ を $\csc^{2} (x)$ に書き換えます。

$\csc^{2} (x)$

ステップ 5

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x) = \csc^{2} (x)$ は公式です

微分積分学準備 例

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