微分積分学準備例

$\sin (x) + \cos (x) = \frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$

ステップ 1

右辺から始めます。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 2.1

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$

ステップ 2.2

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.1.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3.1.3

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.3.1

$\sin (x)$ と $\frac{\sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3.1.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3.1.3.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3.1.4

分母を簡約します。

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ステップ 3.1.4.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3.1.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3.1.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 3.1.6

$\cos (x) \frac{\cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.6.1

$\cos (x)$ と $\frac{\cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$ をまとめます。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 3.1.6.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 3.1.6.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 3.1.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 3.1.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{\cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 3.2

$- 1$ を $\cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x)) - \sin (x)}$

ステップ 3.3

$- 1$ を $- \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x)) - (\sin (x))}$

ステップ 3.4

$- 1$ を $- 1 (- \cos (x)) - (\sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x) + \sin (x))}$

ステップ 3.5

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x) + \sin (x))}$ の分母から分子に負を移動させます。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{- {\cos (x)}^{2}}{- \cos (x) + \sin (x)}$

ステップ 3.6

項を並べ替えます。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 3.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 3.8

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \sin (x)$ であり、 $b = \cos (x)$ です。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 3.9

$\sin (x) - \cos (x)$ の共通因数を約分します。

$\sin (x) + \cos (x)$

ステップ 4

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\sin (x) + \cos (x) = \frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$ は公式です

微分積分学準備 例

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