微分積分学準備例

$\cos (4 u) = \cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$

ステップ 1

右辺から始めます。

$\cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (2 u)$ であり、 $b = \sin (2 u)$ です。

$(\cos (2 u) + \sin (2 u)) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\cos (2 u) + \sin (2 u)) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$ を展開します。

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ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$\cos (2 u) (\cos (2 u) - \sin (2 u)) + \sin (2 u) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$\cos (2 u) \cos (2 u) + \cos (2 u) (- \sin (2 u)) + \sin (2 u) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$\cos (2 u) \cos (2 u) + \cos (2 u) (- \sin (2 u)) + \sin (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

ステップ 2.3

$\cos (2 u) \cos (2 u) + \cos (2 u) (- \sin (2 u)) + \sin (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.3.1

$\cos (2 u) (- \sin (2 u))$ と $\sin (2 u) \cos (2 u)$ について因数を並べ替えます。

$\cos (2 u) \cos (2 u) - \cos (2 u) \sin (2 u) + \cos (2 u) \sin (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

ステップ 2.3.2

$- \cos (2 u) \sin (2 u)$ と $\cos (2 u) \sin (2 u)$ をたし算します。

$\cos (2 u) \cos (2 u) + 0 + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

ステップ 2.3.3

$\cos (2 u) \cos (2 u)$ と $0$ をたし算します。

$\cos (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

ステップ 2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$\cos (2 u) \cos (2 u)$ を掛けます。

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ステップ 2.4.1.1

$\cos (2 u)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

ステップ 2.4.1.2

$\cos (2 u)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (2 u) \cos^{1} (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

ステップ 2.4.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\cos (2 u)}^{1 + 1} + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

ステップ 2.4.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

ステップ 2.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\cos^{2} (2 u) - \sin (2 u) \sin (2 u)$

ステップ 2.4.3

$- \sin (2 u) \sin (2 u)$ を掛けます。

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ステップ 2.4.3.1

$\sin (2 u)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (2 u) - (\sin^{1} (2 u) \sin (2 u))$

ステップ 2.4.3.2

$\sin (2 u)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (2 u) - (\sin^{1} (2 u) \sin^{1} (2 u))$

ステップ 2.4.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (2 u) - {\sin (2 u)}^{1 + 1}$

ステップ 2.4.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$

ステップ 2.5

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$\cos (2 (2 u))$

ステップ 2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\cos (4 u)$

ステップ 3

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\cos (4 u) = \cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$ は公式です

微分積分学準備 例

微分積分学準備例