微分積分学準備例

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} = \cot (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 2.2

$- \frac{1}{\sin (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ に $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.3.3

$(1 - \cos (x)) \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.5.1.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.5.1.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.5.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.5.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 - - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.5.4

$- - \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.5.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + 1 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.5.4.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.5.5

$\sin^{2} (x)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{- 1 + \sin^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.5.6

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.5.7

$- 1$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.5.8

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.5.9

$- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ を $- (1 - \sin^{2} (x))$ に書き換えます。

$\frac{- (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.5.10

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.5.11

$\cos (x)$ を $- \cos^{2} (x) + \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.5.11.1

$\cos (x)$ を $- \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.5.11.2

$1$ を掛けます。

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.5.11.3

$\cos (x)$ を $\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 1)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.6

$- \cos (x) + 1$ と $1 - \cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

項を並べ替えます。

$\frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 2.6.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に書き換えます。

$\cot (x)$

ステップ 4

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} = \cot (x)$ は公式です

微分積分学準備 例

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