微分積分学準備例

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \cot (a) = \csc (a)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \cot (a)$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

正弦と余弦に関して $\cot (a)$ を書き換えます。

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$

ステップ 2.2

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (a)}{\sin (a)}$ を掛けます。

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} \cdot \frac{\sin (a)}{\sin (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$

ステップ 2.3

$- \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$ を掛けます。

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} \cdot \frac{\sin (a)}{\sin (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)} \cdot \frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$

ステップ 2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 - \cos (a)) \sin (a)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.4.1

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)}$ に $\frac{\sin (a)}{\sin (a)}$ をかけます。

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{(1 - \cos (a)) \sin (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)} \cdot \frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$

ステップ 2.4.2

$\frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ に $\frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$ をかけます。

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{(1 - \cos (a)) \sin (a)} - \frac{\cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

ステップ 2.4.3

$(1 - \cos (a)) \sin (a)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))} - \frac{\cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (a) \sin (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$\sin (a) \sin (a)$ を掛けます。

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ステップ 2.6.1.1

$\sin (a)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (a) \sin (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

ステップ 2.6.1.2

$\sin (a)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

ステップ 2.6.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sin (a)}^{1 + 1} - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

ステップ 2.6.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

ステップ 2.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) \cdot 1 - \cos (a) (- \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

ステップ 2.6.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) - \cos (a) (- \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

ステップ 2.6.4

$- \cos (a) (- \cos (a))$ を掛けます。

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ステップ 2.6.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + 1 \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

ステップ 2.6.4.2

$\cos (a)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

ステップ 2.6.4.3

$\cos (a)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{1} (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

ステップ 2.6.4.4

$\cos (a)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{1} (a) \cos^{1} (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

ステップ 2.6.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + {\cos (a)}^{1 + 1}}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

ステップ 2.6.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

ステップ 2.6.5

因数分解した形で $\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{2} (a)$ を書き換えます。

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ステップ 2.6.5.1

項を並べ替えます。

$\frac{- \cos (a) + \sin^{2} (a) + \cos^{2} (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

ステップ 2.6.5.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- \cos (a) + 1}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

ステップ 2.7

$- \cos (a) + 1$ と $1 - \cos (a)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.1

項を並べ替えます。

$\frac{1 - \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

ステップ 2.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 - \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

ステップ 2.7.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sin (a)}$

ステップ 3

$\frac{1}{\sin (a)}$ を $\csc (a)$ に書き換えます。

$\csc (a)$

ステップ 4

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \cot (a) = \csc (a)$ は公式です

微分積分学準備 例

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