微分積分学準備例

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A) = - \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$

ステップ 1

右辺から始めます。

$- \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

$\csc^{4} (A)$ を ${(\csc^{2} (A))}^{2}$ に書き換えます。

$- \cot^{4} (A) + {(\csc^{2} (A))}^{2}$

ステップ 2.2

$\cot^{4} (A)$ を ${(\cot^{2} (A))}^{2}$ に書き換えます。

$- {(\cot^{2} (A))}^{2} + {(\csc^{2} (A))}^{2}$

ステップ 2.3

$- {(\cot^{2} (A))}^{2}$ と ${(\csc^{2} (A))}^{2}$ を並べ替えます。

${(\csc^{2} (A))}^{2} - {(\cot^{2} (A))}^{2}$

ステップ 2.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \csc^{2} (A)$ であり、 $b = \cot^{2} (A)$ です。

$(\csc^{2} (A) + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

ステップ 2.5

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1

正弦と余弦に関して $\csc (A)$ を書き換えます。

$({(\frac{1}{\sin (A)})}^{2} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

ステップ 2.5.2

積の法則を $\frac{1}{\sin (A)}$ に当てはめます。

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (A)} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

ステップ 2.5.3

1のすべての数の累乗は1です。

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

ステップ 2.5.4

正弦と余弦に関して $\cot (A)$ を書き換えます。

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

ステップ 2.5.5

積の法則を $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ に当てはめます。

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

ステップ 2.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) \cdot 1$

ステップ 2.7

$\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

ステップ 3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + \cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

ステップ 4

ここで、方程式の左辺を考えます。

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A)$

ステップ 5

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 5.1

商の恒等式を利用して $\cot (A)$ を正弦と余弦で書きます。

${(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2} + \csc^{2} (A)$

ステップ 5.2

$\csc (A)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (A)})}^{2}$

ステップ 5.3

積の法則を $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ に当てはめます。

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + {(\frac{1}{\sin (A)})}^{2}$

ステップ 5.4

積の法則を $\frac{1}{\sin (A)}$ に当てはめます。

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (A)}$

ステップ 6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + \frac{1}{\sin^{2} (A)}$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos^{2} (A) + 1}{\sin^{2} (A)}$

ステップ 8

項を並べ替えます。

$\frac{1 + \cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

ステップ 9

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A) = - \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$ は公式です

微分積分学準備 例

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