微分積分学準備例

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\cot (x) + \tan (x)} = \cos (2 x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\cot (x) + \tan (x)}$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.1

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \tan (x)}{\cot (x) + \tan (x)}$

ステップ 2.1.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cot (x) + \tan (x)}$

ステップ 2.2

分母を簡約します。

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ステップ 2.2.1

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan (x)}$

ステップ 2.2.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sin (x) \cos (x)$ .

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ステップ 2.3.1

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ に $\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.3.2

まとめる。

$\frac{\sin (x) \cos (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sin (x) \cos (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 2.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5

約分で簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1.1

$\sin (x)$ を $\sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (\cos (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.1.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.6

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.6.1

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.6.2

$\cos (x)$ を $\sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.6.3

共通因数を約分します。

$\frac{\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.6.4

式を書き換えます。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.7

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.8

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.11

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.11.1

$\sin (x)$ を $\sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\sin (x) (\cos (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.11.2

共通因数を約分します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.11.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.12

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.13

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.15

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.16

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.16.1

$\cos (x)$ を $\sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.16.2

共通因数を約分します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.5.16.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}$

ステップ 2.5.17

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}$

ステップ 2.5.18

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}$

ステップ 2.5.19

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}$

ステップ 2.5.20

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}$

ステップ 2.6

項を並べ替えます。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

ステップ 2.7

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1}$

ステップ 2.8

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

ステップ 2.9

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$\cos (2 x)$

ステップ 3

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\cot (x) + \tan (x)} = \cos (2 x)$ は公式です

微分積分学準備 例

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