微分積分学準備例

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$

ステップ 2

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$ に $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ をかけます。

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$

ステップ 3

まとめる。

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

ステップ 4.2

$\sec (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sec (x) + \sec (x) (- \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

ステップ 4.3

$\sec (x) (- \sec (x))$ を掛けます。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ を展開します。

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ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 (1 - \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

ステップ 5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}$

ステップ 5.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 - \sec^{2} (x)}$

ステップ 6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

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ステップ 6.1

$1$ と $- \sec^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \sec^{2} (x) + 1}$

ステップ 6.2

$- 1$ を $- \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

ステップ 6.3

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

ステップ 6.4

$- 1$ を $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

ステップ 6.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \tan^{2} (x)}$

ステップ 7

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 7.1

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sec^{2} (x)}{- \tan^{2} (x)}$

ステップ 7.2

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{- \tan^{2} (x)}$

ステップ 7.3

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

ステップ 7.4

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

ステップ 7.5

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${\cos (x)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.4.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$(\frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.4.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.4.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.6

${\cos (x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.6.1

$- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.6.2

${\cos (x)}^{2}$ を $- {\cos (x)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.6.3

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.6.4

式を書き換えます。

$(\cos (x) - 1) \frac{- 1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.7

分数の前に負数を移動させます。

$(\cos (x) - 1) (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.8

分配則を当てはめます。

$\cos (x) (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}) - 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.9

$\cos (x)$ と $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 8.10

$- 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$ を掛けます。

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \cos (x) + 1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 10

項を並べ替えます。

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 11

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ は公式です

微分積分学準備 例

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