微分積分学準備例

$\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)} - \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)} = 2 \sec (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)} - \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 2

分数を引き算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ を掛けます。

$\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 2.2

$- \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ を掛けます。

$\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ に $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ をかけます。

$\frac{\csc (x) (\sec (x) + \tan (x))}{(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))} - \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$

ステップ 2.3.2

$\frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ に $\frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ をかけます。

$\frac{\csc (x) (\sec (x) + \tan (x))}{(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))} - \frac{\csc (x) (\sec (x) - \tan (x))}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

ステップ 2.3.3

$(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\csc (x) (\sec (x) + \tan (x))}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))} - \frac{\csc (x) (\sec (x) - \tan (x))}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\csc (x) (\sec (x) + \tan (x)) - \csc (x) (\sec (x) - \tan (x))}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

ステップ 3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \tan (x) - \csc (x) (\sec (x) - \tan (x))}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

ステップ 3.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \tan (x) - \csc (x) \sec (x) - \csc (x) (- \tan (x))}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

ステップ 3.1.3

$- \csc (x) (- \tan (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \tan (x) - \csc (x) \sec (x) + 1 \csc (x) \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

ステップ 3.1.3.2

$\csc (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \tan (x) - \csc (x) \sec (x) + \csc (x) \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

ステップ 3.2

$\csc (x) \sec (x)$ から $\csc (x) \sec (x)$ を引きます。

$\frac{\csc (x) \tan (x) + 0 + \csc (x) \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

ステップ 3.3

$\csc (x) \tan (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\csc (x) \tan (x) + \csc (x) \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

ステップ 3.4

$\csc (x) \tan (x)$ と $\csc (x) \tan (x)$ をたし算します。

$\frac{2 \csc (x) \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

ステップ 4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \csc (x) \tan (x)}{\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))}$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \csc (x) \tan (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \csc (x) \tan (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))}$

ステップ 4.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{2 \csc (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)}$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{2 \csc (x) \tan (x)}{1}$

ステップ 6

正弦と余弦に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{2 \frac{1}{\sin (x)} \tan (x)}{1}$

ステップ 6.2

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1}$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $1$ で割ります。

$2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.2

$2$ と $\frac{1}{\sin (x)}$ をまとめます。

$\frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.3

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.3.2

式を書き換えます。

$2 \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 7.4

$2$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{2}{\cos (x)}$

ステップ 8

$\frac{2}{\cos (x)}$ を $2 \sec (x)$ に書き換えます。

$2 \sec (x)$

ステップ 9

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)} - \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)} = 2 \sec (x)$ は公式です

微分積分学準備 例

微分積分学準備例