微分積分学準備例

$\sin (x + y) \cos (x - y) = \frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\sin (x + y) \cos (x - y)$

ステップ 2

角の和の公式を当てはめます。

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) \cos (x - y)$

ステップ 3

角の和の公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y))$

ステップ 4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\cos (- y)$ が偶関数なので、 $\cos (- y)$ を $\cos (y)$ に書き換えます。

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (- y))$

ステップ 4.1.2

$\sin (- y)$ が奇関数なので、 $\sin (- y)$ を $- \sin (y)$ に書き換えます。

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) (- \sin (y)))$

ステップ 4.1.3

$- \sin (x) (- \sin (y))$ を掛けます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + 1 \sin (x) \sin (y))$

ステップ 4.1.3.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

ステップ 4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$ を展開します。

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ステップ 4.2.1

分配則を当てはめます。

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

ステップ 4.2.3

分配則を当てはめます。

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

ステップ 4.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$\cos (y)$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) (\cos^{1} (y) \cos (y)) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

ステップ 4.3.1.2

$\cos (y)$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y)) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

ステップ 4.3.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (x) {\cos (y)}^{1 + 1} \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

ステップ 4.3.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

ステップ 4.3.2

$\sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

ステップ 4.3.2.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

ステップ 4.3.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

ステップ 4.3.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

ステップ 4.3.3

$\cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y))$ を掛けます。

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ステップ 4.3.3.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (x) \cos (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

ステップ 4.3.3.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

ステップ 4.3.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

ステップ 4.3.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

ステップ 4.3.4

$\cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$ を掛けます。

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ステップ 4.3.4.1

$\sin (y)$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) (\sin^{1} (y) \sin (y)) \sin (x)$

ステップ 4.3.4.2

$\sin (y)$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) (\sin^{1} (y) \sin^{1} (y)) \sin (x)$

ステップ 4.3.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) {\sin (y)}^{1 + 1} \sin (x)$

ステップ 4.3.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 5

因数分解。

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ステップ 5.1

$\sin (x) \cos (y)$ を $\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y)$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.1

$\sin (x) \cos (y)$ を $\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x)$ で因数分解します。

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 5.1.2

$\sin (x) \cos (y)$ を $\sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y)$ で因数分解します。

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 5.1.3

$\sin (x) \cos (y)$ を $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y))$ で因数分解します。

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 5.2

$\cos (y)$ を $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y)$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$\cos (y)$ を $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))$ で因数分解します。

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 5.2.2

$\cos (y)$ を $\cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y)$ で因数分解します。

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos (y) (\cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 5.2.3

$\cos (y)$ を $\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos (y) (\cos^{2} (x) \sin (y))$ で因数分解します。

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 5.4

括弧を削除します。

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 5.5

$\sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ を掛けます。

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ステップ 5.5.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 5.5.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 5.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 5.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 5.6

$\sin (x)$ を $\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y)$ で因数分解します。

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ステップ 5.6.1

$\sin (x)$ を $\sin (x) \cos (y) \cos (x)$ で因数分解します。

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 5.6.2

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x) \sin (y)$ で因数分解します。

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 5.6.3

$\sin (x)$ を $\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ で因数分解します。

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 6

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 7

分配則を当てはめます。

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 8

$\sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ を掛けます。

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 9

分配則を当てはめます。

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + 1 \sin (y) - \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 10

$\sin (y)$ に $1$ をかけます。

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \sin (y) - \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 11

分配則を当てはめます。

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x)) + \cos (y) (\sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$\cos (y)$ を $1$ 乗します。

${\cos (y)}^{1} \cos (y) (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 12.1.2

$\cos (y)$ を $1$ 乗します。

${\cos (y)}^{1} {\cos (y)}^{1} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 12.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\cos (y)}^{1 + 1} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 12.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${\cos (y)}^{2} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 12.2

$\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ と $\cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y))$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$\cos (y)$ と $- 1$ を並べ替えます。

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) - 1 \cdot \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 12.2.2

$\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ から $\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ を引きます。

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + 0 + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 12.3

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$\cos^{2} (y) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 13

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$(1 - \sin^{2} (y)) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 14

各項を簡約します。

$\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (y) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$- {\sin (y)}^{2} \cos (x) \sin (x)$ と ${\sin (y)}^{2} \cos (x) \sin (x)$ をたし算します。

$\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y) + 0$

ステップ 15.2

$\cos (x) \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y)$

ステップ 16

$\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y)$ を $\frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$ に書き換えます。

$\frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$

ステップ 17

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\sin (x + y) \cos (x - y) = \frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$ は公式です

微分積分学準備 例

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