微分積分学準備例

$\tan^{2} (75)$

ステップ 1

$\tan (75)$ の厳密値は $2 + \sqrt{3}$ です。

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ステップ 1.1

$75$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$\tan^{2} (30 + 45)$

ステップ 1.2

角の和の公式を当てはめます。

${(\frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)})}^{2}$

ステップ 1.3

$\tan (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

${(\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)})}^{2}$

ステップ 1.4

$\tan (45)$ の厳密値は $1$ です。

${(\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)})}^{2}$

ステップ 1.5

$\tan (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

${(\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)})}^{2}$

ステップ 1.6

$\tan (45)$ の厳密値は $1$ です。

${(\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1})}^{2}$

ステップ 1.7

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ を簡約します。

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ステップ 1.7.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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ステップ 1.7.1.1

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

${(\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1})}^{2}$

ステップ 1.7.1.2

まとめる。

${(\frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

ステップ 1.7.2

分配則を当てはめます。

${(\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

ステップ 1.7.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.3.1

共通因数を約分します。

${(\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

ステップ 1.7.3.2

式を書き換えます。

${(\frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

ステップ 1.7.4

$3$ に $1$ をかけます。

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

ステップ 1.7.5

分母を簡約します。

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ステップ 1.7.5.1

$3$ に $1$ をかけます。

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

ステップ 1.7.5.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

ステップ 1.7.5.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.5.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}})}^{2}$

ステップ 1.7.5.3.2

共通因数を約分します。

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}})}^{2}$

ステップ 1.7.5.3.3

式を書き換えます。

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}})}^{2}$

ステップ 1.7.6

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ に $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ をかけます。

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})}^{2}$

ステップ 1.7.7

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ に $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ をかけます。

${(\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})})}^{2}$

ステップ 1.7.8

FOIL法を使って分母を展開します。

${(\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}})}^{2}$

ステップ 1.7.9

簡約します。

${(\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.10

分子を簡約します。

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ステップ 1.7.10.1

項を並べ替えます。

${(\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.10.2

$3 + \sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

${(\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.10.3

$3 + \sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

${(\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.10.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.10.5

$1$ と $1$ をたし算します。

${(\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.11

${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ を $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ に書き換えます。

${(\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.12

分配法則（FOIL法）を使って $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ を展開します。

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ステップ 1.7.12.1

分配則を当てはめます。

${(\frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.12.2

分配則を当てはめます。

${(\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.12.3

分配則を当てはめます。

${(\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.13

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.7.13.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.13.1.1

$3$ に $3$ をかけます。

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.13.1.2

$3$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.13.1.3

根の積の法則を使ってまとめます。

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.13.1.4

$3$ に $3$ をかけます。

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.13.1.5

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.13.1.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.13.2

$9$ と $3$ をたし算します。

${(\frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.13.3

$3 \sqrt{3}$ と $3 \sqrt{3}$ をたし算します。

${(\frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.14

$12 + 6 \sqrt{3}$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.14.1

$6$ を $12$ で因数分解します。

${(\frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.14.2

$6$ を $6 \sqrt{3}$ で因数分解します。

${(\frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.14.3

$6$ を $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ で因数分解します。

${(\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

ステップ 1.7.14.4

共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.14.4.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

${(\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)})}^{2}$

ステップ 1.7.14.4.2

共通因数を約分します。

${(\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1})}^{2}$

ステップ 1.7.14.4.3

式を書き換えます。

${(\frac{2 + \sqrt{3}}{1})}^{2}$

ステップ 1.7.14.4.4

$2 + \sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

${(2 + \sqrt{3})}^{2}$

ステップ 2

${(2 + \sqrt{3})}^{2}$ を $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ に書き換えます。

$(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$

ステップ 3

分配法則（FOIL法）を使って $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}$

ステップ 4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}$

ステップ 4.1.2

$2$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}$

ステップ 4.1.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}$

ステップ 4.1.4

$3$ に $3$ をかけます。

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}$

ステップ 4.1.5

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}$

ステップ 4.1.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3$

ステップ 4.2

$4$ と $3$ をたし算します。

$7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 4.3

$2 \sqrt{3}$ と $2 \sqrt{3}$ をたし算します。

$7 + 4 \sqrt{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$7 + 4 \sqrt{3}$

10進法形式：

$13.92820323 \dots$

微分積分学準備 例

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