微分積分学準備例

$\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$

ステップ 1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (\frac{x}{2})$ であり、 $b = \sin (\frac{x}{2})$ です。

$(\cos (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.2

$\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.3

$\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.4.6.4.2

式を書き換えます。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.4.6.5

指数を求めます。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.6

制限半角の公式を当てはめます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.7

$\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.8

$\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.9

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.9.1

$\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.9.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.9.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.9.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.9.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.9.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.9.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.9.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.9.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.9.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.9.6.4.1

共通因数を約分します。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.9.6.4.2

式を書き換えます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.9.6.5

指数を求めます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.1.10

根の積の法則を使ってまとめます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.2.2

$\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.2.3

$\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.2.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.2.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.2.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.2.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.2.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.2.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.2.4.6.4.2

式を書き換えます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}} - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.2.4.6.5

指数を求めます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.2.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - \sin (\frac{x}{2}))$

ステップ 2.2.6

制限半角の公式を当てはめます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}))$

ステップ 2.2.7

$\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}))$

ステップ 2.2.8

$\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

ステップ 2.2.9

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.9.1

$\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}))$

ステップ 2.2.9.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

ステップ 2.2.9.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

ステップ 2.2.9.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

ステップ 2.2.9.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}))$

ステップ 2.2.9.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.9.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

ステップ 2.2.9.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

ステップ 2.2.9.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}))$

ステップ 2.2.9.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.9.6.4.1

共通因数を約分します。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}))$

ステップ 2.2.9.6.4.2

式を書き換えます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}}))$

ステップ 2.2.9.6.5

指数を求めます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2}))$

ステップ 2.2.10

根の積の法則を使ってまとめます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 3

分配法則（FOIL法）を使って $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

ステップ 4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$ と $(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ について因数を並べ替えます。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) - (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.1.2

$- (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ と $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ をたし算します。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + 0 + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.1.3

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ と $0$ をたし算します。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ を $1$ 乗します。

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.1.2

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ を $1$ 乗します。

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1 + 1} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.2

Remove the plus-minus sign on $\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ because it is raised to an even power.

${(\frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.3

積の法則を $\frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ に当てはめます。

$\frac{{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}^{2}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

${\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}^{2}$ を $(1 + \cos (x)) \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}$ を ${((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{({((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.4.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.4.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.4.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.4.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{1}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.4.1.5

簡約します。

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 2}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 2 + \cos (x) \cdot 2}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 + \cos (x) \cdot 2}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.4.4

$2$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$\frac{2 + 2 \cdot \cos (x)}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.4.5

$2$ を $2 + 2 \cos (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.5.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (x)}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.4.5.2

$2$ を $2 \cdot 1 + 2 \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.5

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{4} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{2 \cdot 2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{2 \cdot 2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.6.3

式を書き換えます。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$

ステップ 4.2.8

$- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - ({(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

ステップ 4.2.8.2

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - ({(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} {(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1})$

ステップ 4.2.8.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - {(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1 + 1}$

ステップ 4.2.8.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - {(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2}$

ステップ 4.2.9

Remove the plus-minus sign on $\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ because it is raised to an even power.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - {(\frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2}$

ステップ 4.2.10

積の法則を $\frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 4.2.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.11.1

${\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}^{2}$ を $(1 - \cos (x)) \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.11.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}$ を ${((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{({((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 4.2.11.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

ステップ 4.2.11.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 4.2.11.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.11.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 4.2.11.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

ステップ 4.2.11.1.5

簡約します。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{(1 - \cos (x)) \cdot 2}{2^{2}}$

ステップ 4.2.11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{1 \cdot 2 - \cos (x) \cdot 2}{2^{2}}$

ステップ 4.2.11.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 - \cos (x) \cdot 2}{2^{2}}$

ステップ 4.2.11.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 - 2 \cos (x)}{2^{2}}$

ステップ 4.2.11.5

$2$ を $2 - 2 \cos (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.11.5.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1) - 2 \cos (x)}{2^{2}}$

ステップ 4.2.11.5.2

$2$ を $- 2 \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1) + 2 (- \cos (x))}{2^{2}}$

ステップ 4.2.11.5.3

$2$ を $2 (1) + 2 (- \cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{2^{2}}$

ステップ 4.2.12

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{4}$

ステップ 4.2.13

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.13.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.2.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.2.13.3

式を書き換えます。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{1 - \cos (x)}{2}$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + \cos (x) - (1 - \cos (x))}{2}$

ステップ 4.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + \cos (x) - 1 \cdot 1 - - \cos (x)}{2}$

ステップ 4.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \cos (x) - 1 - - \cos (x)}{2}$

ステップ 4.4.3

$- - \cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 + \cos (x) - 1 + 1 \cos (x)}{2}$

ステップ 4.4.3.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \cos (x) - 1 + \cos (x)}{2}$

ステップ 4.5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$1 + \cos (x) - 1 + \cos (x)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 + \cos (x) + \cos (x)}{2}$

ステップ 4.5.1.2

$0$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$\frac{\cos (x) + \cos (x)}{2}$

ステップ 4.5.2

$\cos (x)$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$\frac{2 \cos (x)}{2}$

ステップ 4.5.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x)}{2}$

ステップ 4.5.3.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x)$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例