微分積分学準備例

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b i}{a^{2} - b^{2}})$

ステップ 1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a$ であり、 $b = b$ です。

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)})$

ステップ 2

$\frac{a}{a^{2} + b^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)}$ を掛けます。

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} \cdot \frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)})$

ステップ 3

$- \frac{b i}{(a + b) (a - b)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ を掛けます。

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} \cdot \frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}})$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(a^{2} + b^{2}) (a + b) (a - b)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{a}{a^{2} + b^{2}}$ に $\frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)}$ をかけます。

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}})$

ステップ 4.2

$\frac{b i}{(a + b) (a - b)}$ に $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ をかけます。

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))} - \frac{b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})})$

ステップ 4.3

$(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))$ の因数を並べ替えます。

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})} - \frac{b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})})$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$(a + b i) \frac{a ((a + b) (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(a + b) (a - b)$ を展開します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$(a + b i) \frac{a (a (a - b) + b (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6.1.2

分配則を当てはめます。

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + a (- b) + b (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6.2

$a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.2.1

$a (- b)$ と $b a$ について因数を並べ替えます。

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a - a b + a b + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6.2.2

$- a b$ と $a b$ をたし算します。

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + 0 + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6.2.3

$a \cdot a$ と $0$ をたし算します。

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6.3

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$a$ に $a$ をかけます。

$(a + b i) \frac{a (a^{2} + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - b \cdot b) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6.3.3

指数を足して $b$ に $b$ を掛けます。

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ステップ 6.3.3.1

$b$ を移動させます。

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - (b \cdot b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6.3.3.2

$b$ に $b$ をかけます。

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$(a + b i) \frac{a \cdot a^{2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6.5

指数を足して $a$ に $a^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.5.1

$a$ に $a^{2}$ をかけます。

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ステップ 6.5.1.1

$a$ を $1$ 乗します。

$(a + b i) \frac{a^{1} a^{2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(a + b i) \frac{a^{1 + 2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6.5.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$(a + b i) \frac{a^{3} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6.7

分配則を当てはめます。

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b i b^{2}}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6.8

指数を足して $b$ に $b^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.8.1

$b^{2}$ を移動させます。

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - (b^{2} b) i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6.8.2

$b^{2}$ に $b$ をかけます。

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ステップ 6.8.2.1

$b$ を $1$ 乗します。

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - (b^{2} b^{1}) i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{2 + 1} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 6.8.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

ステップ 7

$a + b i$ に $\frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$ をかけます。

$\frac{(a + b i) (a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i)}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

微分積分学準備 例

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