微分積分学準備例

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)} > 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x = 0$

$2 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3

$a = 2$ 、 $b = 2$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.2.2

$- 8$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.3

$4$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

ステップ 4.3

$\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ を簡約します。

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

ステップ 5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

ステップ 6

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 7

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

$x = - 1$

ステップ 8

解をまとめます。

$x = 0, - 1$

ステップ 9

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 9.1

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x (x + 1) = 0$

ステップ 9.2

$x$ について解きます。

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ステップ 9.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 9.2.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 9.2.3

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.2.3.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 9.2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 9.2.4

最終解は $x (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 1$

ステップ 9.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{2 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) + 1}{(- 4) ((- 4) + 1)} > 0$

ステップ 11.1.3

左辺 $2.08\overline{3}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.2

区間 $- 1 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $- 1 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 0.5$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $- 0.5$ で置き換えます。

$\frac{2 {(- 0.5)}^{2} + 2 (- 0.5) + 1}{(- 0.5) ((- 0.5) + 1)} > 0$

ステップ 11.2.3

左辺 $- 2$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.3

区間 $x > 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $x > 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{2 {(2)}^{2} + 2 (2) + 1}{(2) ((2) + 1)} > 0$

ステップ 11.3.3

左辺 $2.1\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 0$ 偽

$x > 0$ 真

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 0$ 偽

$x > 0$ 真

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 1$ または $x > 0$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - 1 or x > 0$

区間記号：

$(- \infty, - 1) \cup (0, \infty)$

ステップ 14

微分積分学準備 例

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