微分積分学準備例

$1 + \frac{3 y}{1 - y} > 2$

ステップ 1

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$1 + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

ステップ 2

$1 + \frac{3 y}{1 - y} - 2$ を簡約します。

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ステップ 2.1

公分母を求めます。

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ステップ 2.1.1

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{1} + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

ステップ 2.1.2

$\frac{1}{1}$ に $\frac{1 - y}{1 - y}$ をかけます。

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{1}$ に $\frac{1 - y}{1 - y}$ をかけます。

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

ステップ 2.1.4

$- 2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} + \frac{- 2}{1} > 0$

ステップ 2.1.5

$\frac{- 2}{1}$ に $\frac{1 - y}{1 - y}$ をかけます。

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{1 - y}{1 - y} > 0$

ステップ 2.1.6

$\frac{- 2}{1}$ に $\frac{1 - y}{1 - y}$ をかけます。

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} + \frac{- 2 (1 - y)}{1 - y} > 0$

ステップ 2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - y + 3 y - 2 (1 - y)}{- y + 1} > 0$

ステップ 2.3

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 - y + 3 y - 2 \cdot 1 - 2 (- y)}{- y + 1} > 0$

ステップ 2.3.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - y + 3 y - 2 - 2 (- y)}{- y + 1} > 0$

ステップ 2.3.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{1 - y + 3 y - 2 + 2 y}{- y + 1} > 0$

ステップ 2.4

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{- y + 3 y - 1 + 2 y}{- y + 1} > 0$

ステップ 2.5

$- y$ と $3 y$ をたし算します。

$\frac{2 y - 1 + 2 y}{- y + 1} > 0$

ステップ 2.6

$2 y$ と $2 y$ をたし算します。

$\frac{4 y - 1}{- y + 1} > 0$

ステップ 2.7

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{4 y - 1}{- (y) + 1} > 0$

ステップ 2.8

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{4 y - 1}{- (y) - 1 (- 1)} > 0$

ステップ 2.9

$- 1$ を $- (y) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{4 y - 1}{- (y - 1)} > 0$

ステップ 2.10

$- (y - 1)$ を $- 1 (y - 1)$ に書き換えます。

$\frac{4 y - 1}{- 1 (y - 1)} > 0$

ステップ 2.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 y - 1}{y - 1} > 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$4 y - 1 = 0$

$y - 1 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$4 y = 1$

ステップ 5

$4 y = 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$4 y = 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 y}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{4}$

ステップ 6

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = 1$

ステップ 7

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$y = \frac{1}{4}$

$y = 1$

ステップ 8

解をまとめます。

$y = \frac{1}{4}, 1$

ステップ 9

$- \frac{4 y - 1}{y - 1}$ の定義域を求めます。

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ステップ 9.1

$\frac{4 y - 1}{y - 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$y - 1 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = 1$

ステップ 9.3

定義域は式が定義になる $y$ のすべての値です。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$y < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} < y < 1$

$y > 1$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $y < \frac{1}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $y < \frac{1}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = 0$

ステップ 11.1.2

$y$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$1 + \frac{3 (0)}{1 - (0)} > 2$

ステップ 11.1.3

左辺 $1$ は右辺 $2$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.2

区間 $\frac{1}{4} < y < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $\frac{1}{4} < y < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = 0.62$

ステップ 11.2.2

$y$ を元の不等式の $0.62$ で置き換えます。

$1 + \frac{3 (0.62)}{1 - (0.62)} > 2$

ステップ 11.2.3

左辺 $5.89473684$ は右辺 $2$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.3

区間 $y > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $y > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = 4$

ステップ 11.3.2

$y$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$1 + \frac{3 (4)}{1 - (4)} > 2$

ステップ 11.3.3

左辺 $- 3$ は右辺 $2$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$y < \frac{1}{4}$ 偽

$\frac{1}{4} < y < 1$ 真

$y > 1$ 偽

$y < \frac{1}{4}$ 偽

$\frac{1}{4} < y < 1$ 真

$y > 1$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{1}{4} < y < 1$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$\frac{1}{4} < y < 1$

区間記号：

$(\frac{1}{4}, 1)$

ステップ 14

微分積分学準備 例

微分積分学準備例