微分積分学準備例

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{4 - x^{2}}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2} \frac{1}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

ステップ 1.2

$x^{2}$ と $\frac{1}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

ステップ 1.3

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

ステップ 1.5

項を並べ替えます。

$\frac{\frac{x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

ステップ 1.6

因数分解した形で $\frac{x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ を書き換えます。

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ステップ 1.6.1

指数を足して ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.6.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

ステップ 1.6.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

ステップ 1.6.1.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

ステップ 1.6.1.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{\frac{x^{2} + {(4 - x^{2})}^{1}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

ステップ 1.6.2

${(4 - x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$\frac{\frac{x^{2} + 4 - x^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

ステップ 1.6.3

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{\frac{0 + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

ステップ 1.6.4

$0$ と $4$ をたし算します。

$\frac{\frac{4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2^{2} - x^{2}}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{\frac{4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{(2 + x) (2 - x)}$

ステップ 3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$

ステップ 4

まとめる。

$\frac{4 \cdot 1}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ((2 + x) (2 - x))}$

ステップ 5

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例