微分積分学準備例

$\frac{2 z^{3} + 6 z^{2} + 18 z}{z^{3} - 27}$

ステップ 1

$2 z$ を $2 z^{3} + 6 z^{2} + 18 z$ で因数分解します。

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ステップ 1.1

$2 z$ を $2 z^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 z (z^{2}) + 6 z^{2} + 18 z}{z^{3} - 27}$

ステップ 1.2

$2 z$ を $6 z^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 z (z^{2}) + 2 z (3 z) + 18 z}{z^{3} - 27}$

ステップ 1.3

$2 z$ を $18 z$ で因数分解します。

$\frac{2 z (z^{2}) + 2 z (3 z) + 2 z (9)}{z^{3} - 27}$

ステップ 1.4

$2 z$ を $2 z (z^{2}) + 2 z (3 z)$ で因数分解します。

$\frac{2 z (z^{2} + 3 z) + 2 z (9)}{z^{3} - 27}$

ステップ 1.5

$2 z$ を $2 z (z^{2} + 3 z) + 2 z (9)$ で因数分解します。

$\frac{2 z (z^{2} + 3 z + 9)}{z^{3} - 27}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$\frac{2 z (z^{2} + 3 z + 9)}{z^{3} - 3^{3}}$

ステップ 2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = z$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{2 z (z^{2} + 3 z + 9)}{(z - 3) (z^{2} + z \cdot 3 + 3^{2})}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$3$ を $z$ の左に移動させます。

$\frac{2 z (z^{2} + 3 z + 9)}{(z - 3) (z^{2} + 3 \cdot z + 3^{2})}$

ステップ 2.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{2 z (z^{2} + 3 z + 9)}{(z - 3) (z^{2} + 3 z + 9)}$

ステップ 3

$z^{2} + 3 z + 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 z (z^{2} + 3 z + 9)}{(z - 3) (z^{2} + 3 z + 9)}$

ステップ 3.2

式を書き換えます。

$\frac{2 z}{z - 3}$

微分積分学準備 例