微分積分学準備例

$\frac{\frac{1}{x} - x}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x^{2}$ .

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ステップ 1.1

$\frac{\frac{1}{x} - x}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ に $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{x^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x} - x}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.2

まとめる。

$\frac{x^{2} (\frac{1}{x} - x)}{x^{2} (1 - \frac{1}{x^{2}})}$

ステップ 2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \frac{1}{x^{2}})}$

ステップ 3

約分で簡約します。

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ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x \frac{1}{x} + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \frac{1}{x^{2}})}$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot x \frac{1}{x} + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \frac{1}{x^{2}})}$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{x + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \frac{1}{x^{2}})}$

ステップ 3.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{x + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} \frac{- 1}{x^{2}}}$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} \frac{- 1}{x^{2}}}$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

$x$ を $x + x^{2} (- x)$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

ステップ 4.1.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1 + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

ステップ 4.1.3

$x$ を $x^{2} (- x)$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1 + x (x (- x))}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

ステップ 4.1.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (x (- x))$ で因数分解します。

$\frac{x (1 + x (- x))}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

ステップ 4.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x (1^{2} + x (- x))}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

ステップ 4.3

$x (x)$ を $x^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x (1^{2} - x^{2})}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

ステップ 4.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

$x^{2} \cdot 1$ を ${(x \cdot 1)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{{(x \cdot 1)}^{2} - 1}$

ステップ 5.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{{(x \cdot 1)}^{2} - 1^{2}}$

ステップ 5.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x \cdot 1$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{(x \cdot 1 + 1) (x \cdot 1 - 1)}$

ステップ 5.4

簡約します。

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ステップ 5.4.1

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{(x + 1) (x \cdot 1 - 1)}$

ステップ 5.4.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 6

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 6.1

$1 + x$ と $x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

項を並べ替えます。

$\frac{x (x + 1) (1 - x)}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 6.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (x + 1) (1 - x)}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 6.1.3

式を書き換えます。

$\frac{x (1 - x)}{x - 1}$

ステップ 6.2

$1 - x$ と $x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{x (- 1 (- 1) - x)}{x - 1}$

ステップ 6.2.2

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{x (- 1 (- 1) - (x))}{x - 1}$

ステップ 6.2.3

$- 1$ を $- 1 (- 1) - (x)$ で因数分解します。

$\frac{x (- 1 (- 1 + x))}{x - 1}$

ステップ 6.2.4

項を並べ替えます。

$\frac{x (- 1 (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 6.2.5

共通因数を約分します。

$\frac{x (- 1 (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 6.2.6

$x \cdot (- 1)$ を $1$ で割ります。

$x \cdot (- 1)$

ステップ 6.3

式を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$- 1 x$

ステップ 6.3.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$- x$

微分積分学準備 例

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