微分積分学準備例

$\cos (\arcsin (\sqrt{1 - x^{2}}))$

ステップ 1

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 1.1

交点 $(\sqrt{1^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}, \sqrt{1 - x^{2}})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (\sqrt{1 - x^{2}})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}, \sqrt{1 - x^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arcsin (\sqrt{1 - x^{2}}))$ は $\sqrt{1 - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}$ です。

$\sqrt{1 - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}$

ステップ 1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{1^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}$

ステップ 2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sqrt{1 - x^{2}}$ です。

$\sqrt{(1 + \sqrt{1 - x^{2}}) (1 - \sqrt{1 - x^{2}})}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{(1 + \sqrt{1^{2} - x^{2}}) (1 - \sqrt{1 - x^{2}})}$

ステップ 3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{1 - x^{2}})}$

ステップ 3.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{1^{2} - x^{2}})}$

ステップ 3.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例