微分積分学準備例

$\log_{2} (8) + \log_{8} (x + 2) - \log_{4} (x^{4} + 4 x^{2} + 4)$

ステップ 1

$\log_{8} (x + 2)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x + 2 > 0$

ステップ 2

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$x > - 2$

ステップ 3

$\log_{4} (x^{4} + 4 x^{2} + 4)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x^{4} + 4 x^{2} + 4 > 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$u^{2} + 4 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 4.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 4.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u^{2} + 4 u + 2^{2} = 0$

ステップ 4.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

ステップ 4.2.3

多項式を書き換えます。

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

ステップ 4.2.4

$a = u$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(u + 2)}^{2} = 0$

ステップ 4.3

$u + 2$ が $0$ に等しいとします。

$u + 2 = 0$

ステップ 4.4

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$u = - 2$

ステップ 4.5

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = - 2$

ステップ 4.6

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 4.6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

ステップ 4.6.2

$\pm \sqrt{- 2}$ を簡約します。

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ステップ 4.6.2.1

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

ステップ 4.6.2.2

$\sqrt{- 1 (2)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

ステップ 4.6.2.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{2}$

ステップ 4.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.6.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{2}$

ステップ 4.6.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{2}$

ステップ 4.6.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

ステップ 4.7

首位係数を求めます。

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ステップ 4.7.1

多項式の最高次の項は最高次をもつ項です。

$x^{4}$

ステップ 4.7.2

多項式の首位係数は最高次の項の係数です。

$1$

ステップ 4.8

実x切片がなく、首位係数が正なので、放物線は上に開で $x^{4} + 4 x^{2} + 4$ は常に $0$ より大きくなります。

すべての実数

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- 2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > - 2}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例