微分積分学準備例

$\frac{4 x^{3} + 5^{2} + 7 x - 1}{x^{2} x + 1}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

分数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{4 x^{3} + 25 + 7 x - 1}{x^{2} x + 1}$

ステップ 1.1.2

$25$ から $1$ を引きます。

$\frac{4 x^{3} + 7 x + 24}{x^{2} x + 1}$

ステップ 1.1.3

有理根検定を用いて $4 x^{3} + 7 x + 24$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.3.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

ステップ 1.1.3.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 24, \pm 6, \pm 12, \pm 2, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 8, \pm 4$

ステップ 1.1.3.3

$- 1.5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1.5$ は多項式の根です。

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ステップ 1.1.3.3.1

$- 1.5$ を多項式に代入します。

$4 {(- 1.5)}^{3} + 7 \cdot - 1.5 + 24$

ステップ 1.1.3.3.2

$- 1.5$ を $3$ 乗します。

$4 \cdot - 3.375 + 7 \cdot - 1.5 + 24$

ステップ 1.1.3.3.3

$4$ に $- 3.375$ をかけます。

$- 13.5 + 7 \cdot - 1.5 + 24$

ステップ 1.1.3.3.4

$7$ に $- 1.5$ をかけます。

$- 13.5 - 10.5 + 24$

ステップ 1.1.3.3.5

$- 13.5$ から $10.5$ を引きます。

$- 24 + 24$

ステップ 1.1.3.3.6

$- 24$ と $24$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.1.3.4

$- 1.5$ は既知の根なので、多項式を $2 x + 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{4 x^{3} + 7 x + 24}{2 x + 3}$

ステップ 1.1.3.5

$4 x^{3} + 7 x + 24$ を $2 x + 3$ で割ります。

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ステップ 1.1.3.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$3$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$24$

ステップ 1.1.3.5.2

被除数 $4 x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$

ステップ 1.1.3.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			+	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

ステップ 1.1.3.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x^{3} + 6 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

ステップ 1.1.3.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

ステップ 1.1.3.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$

ステップ 1.1.3.5.7

被除数 $- 6 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$

ステップ 1.1.3.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$9 x$

ステップ 1.1.3.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 6 x^{2} - 9 x$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$

ステップ 1.1.3.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$

ステップ 1.1.3.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$

ステップ 1.1.3.5.12

被除数 $16 x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$

ステップ 1.1.3.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$
							+	$16 x$	+	$24$

ステップ 1.1.3.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $16 x + 24$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$
							-	$16 x$	-	$24$

ステップ 1.1.3.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$
							-	$16 x$	-	$24$
										$0$

ステップ 1.1.3.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$2 x^{2} - 3 x + 8$

ステップ 1.1.3.6

$4 x^{3} + 7 x + 24$ を因数の集合として書き換えます。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{2} x + 1}$

ステップ 1.1.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.4.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{2} x^{1} + 1}$

ステップ 1.1.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{2 + 1} + 1}$

ステップ 1.1.4.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.5

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{3} + 1^{3}}$

ステップ 1.1.6

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 1.1.7

簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}$

ステップ 1.1.7.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 1}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ です。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.5

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 1.5.1

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.5.1.2

式を書き換えます。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.5.2

$x^{2} - x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.5.2.2

$(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)$ を $1$ で割ります。

$(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.6

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)$ を展開します。

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.7

項を簡約します。

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ステップ 1.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cdot (2 x \cdot x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.7.1.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 \cdot (2 (x^{2} x)) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.7.1.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \cdot (2 (x^{2} x)) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.7.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \cdot (2 x^{2 + 1}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.7.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 \cdot (2 x^{3}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.7.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.7.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x^{3} + 2 \cdot (- 3 x \cdot x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.7.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.5.1

$x$ を移動させます。

$4 x^{3} + 2 \cdot (- 3 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.7.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$4 x^{3} + 2 \cdot (- 3 x^{2}) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.7.1.6

$2$ に $- 3$ をかけます。

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.7.1.7

$8$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.7.1.8

$2$ に $3$ をかけます。

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.7.1.9

$- 3$ に $3$ をかけます。

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} - 9 x + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.7.1.10

$3$ に $8$ をかけます。

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} - 9 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.7.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 1.7.2.1

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} - 9 x + 24$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.7.2.1.1

$- 6 x^{2}$ と $6 x^{2}$ をたし算します。

$4 x^{3} + 16 x + 0 - 9 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.7.2.1.2

$4 x^{3} + 16 x$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{3} + 16 x - 9 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.7.2.2

$16 x$ から $9 x$ を引きます。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.1

共通因数を約分します。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = \frac{A (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.8.1.2

$(A) (x^{2} - x + 1)$ を $1$ で割ります。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = (A) (x^{2} - x + 1) + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.8.2

分配則を当てはめます。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} + A (- x) + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.8.3.2

$A$ に $1$ をかけます。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.8.4

$x^{2} - x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.4.1

共通因数を約分します。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1.8.4.2

$(B x + C) (x + 1)$ を $1$ で割ります。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + (B x + C) (x + 1)$

ステップ 1.8.5

分配法則（FOIL法）を使って $(B x + C) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.5.1

分配則を当てはめます。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x (x + 1) + C (x + 1)$

ステップ 1.8.5.2

分配則を当てはめます。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C (x + 1)$

ステップ 1.8.5.3

分配則を当てはめます。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

ステップ 1.8.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.6.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.6.1.1

$x$ を移動させます。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

ステップ 1.8.6.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x^{2} + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

ステップ 1.8.6.2

$B$ に $1$ をかけます。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x^{2} + B x + C x + C \cdot 1$

ステップ 1.8.6.3

$C$ に $1$ をかけます。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x^{2} + B x + C x + C$

ステップ 1.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1

$A$ を移動させます。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

ステップ 1.9.2

$B$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

ステップ 1.9.3

$B$ と $x$ を並べ替えます。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

ステップ 1.9.4

$A$ を移動させます。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + B x^{2} + B x + C x + A + C$

ステップ 1.9.5

$- x A$ を移動させます。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} + B x^{2} - x A + B x + C x + A + C$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$7 = - 1 A + B + C$

ステップ 2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$24 = A + C$

ステップ 2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

$0 = A + B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$0 = A + B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

方程式を $A + B = 0$ として書き換えます。

$A + B = 0$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = - B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

$A = - B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$7 = - 1 A + B + C$ の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

$7 = - 1 (- B) + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$- 1 (- B) + B + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$- 1 (- B)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$7 = 1 B + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$B$ に $1$ をかけます。

$7 = B + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

$7 = B + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

ステップ 3.2.2.1.2

$B$ と $B$ をたし算します。

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

ステップ 3.2.3

$24 = A + C$ の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

$24 = (- B) + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

ステップ 3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

括弧を削除します。

$24 = - B + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = - B + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = - B + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

ステップ 3.3

$24 = - B + C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $- B + C = 24$ として書き換えます。

$- B + C = 24$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $B$ を足します。

$C = 24 + B$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$C = 24 + B$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

ステップ 3.4

各方程式の $C$ のすべての発生を $24 + B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$7 = 2 B + C$ の $C$ のすべての発生を $24 + B$ で置き換えます。

$7 = 2 B + 24 + B$

$C = 24 + B$

$A = - B$

ステップ 3.4.2

$7 = 2 B + 24 + B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

括弧を削除します。

$7 = 2 B + 24 + B$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 2 B + 24 + B$

$C = 24 + B$

$A = - B$

ステップ 3.4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$2 B$ と $B$ をたし算します。

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

ステップ 3.5

$7 = 3 B + 24$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式を $3 B + 24 = 7$ として書き換えます。

$3 B + 24 = 7$

$C = 24 + B$

$A = - B$

ステップ 3.5.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺から $24$ を引きます。

$3 B = 7 - 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

ステップ 3.5.2.2

$7$ から $24$ を引きます。

$3 B = - 17$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$3 B = - 17$

$C = 24 + B$

$A = - B$

ステップ 3.5.3

$3 B = - 17$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$3 B = - 17$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

ステップ 3.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

ステップ 3.5.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

ステップ 3.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

ステップ 3.6

各方程式の $B$ のすべての発生を $- \frac{17}{3}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$C = 24 + B$ の $B$ のすべての発生を $- \frac{17}{3}$ で置き換えます。

$C = 24 - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

ステップ 3.6.2

$C = 24 - \frac{17}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.1

括弧を削除します。

$C = 24 - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = 24 - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

ステップ 3.6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.2.1

$24 - \frac{17}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.2.1.1

$24$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$C = 24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

ステップ 3.6.2.2.1.2

$24$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$C = \frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

ステップ 3.6.2.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$C = \frac{24 \cdot 3 - 17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

ステップ 3.6.2.2.1.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.2.1.4.1

$24$ に $3$ をかけます。

$C = \frac{72 - 17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

ステップ 3.6.2.2.1.4.2

$72$ から $17$ を引きます。

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

ステップ 3.6.3

$A = - B$ の $B$ のすべての発生を $- \frac{17}{3}$ で置き換えます。

$A = - (- \frac{17}{3})$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

ステップ 3.6.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1

$- (- \frac{17}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A = 1 (\frac{17}{3})$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

ステップ 3.6.4.1.2

$\frac{17}{3}$ に $1$ をかけます。

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

ステップ 3.7

すべての解をまとめます。

$A = \frac{17}{3}, C = \frac{55}{3}, B = - \frac{17}{3}$

ステップ 4

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{17}{3}}{x + 1} + \frac{- \frac{17}{3 x} + \frac{55}{3}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ と $\frac{17}{3}$ をまとめます。

$\frac{\frac{17}{3}}{x + 1} + \frac{- \frac{x \cdot 17}{3} + \frac{55}{3}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 5.2

$17$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{17}{3}}{x + 1} + \frac{- \frac{17 x}{3} + \frac{55}{3}}{x^{2} - x + 1}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例