微分積分学準備例

${(\frac{4}{3})}^{1 - x} = 5^{x}$

ステップ 1

方程式の両辺の対数をとります。

$\ln ({(\frac{4}{3})}^{1 - x}) = \ln (5^{x})$

ステップ 2

$1 - x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{4}{3})}^{1 - x})$ を展開します。

$(1 - x) \ln (\frac{4}{3}) = \ln (5^{x})$

ステップ 3

$\ln (\frac{4}{3})$ を $\ln (4) - \ln (3)$ に書き換えます。

$(1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = \ln (5^{x})$

ステップ 4

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (5^{x})$ を展開します。

$(1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

ステップ 5

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.1

$(1 - x) (\ln (4) - \ln (3))$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + (1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

ステップ 5.1.2

0を加えて簡約します。

$(1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

ステップ 5.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - x) (\ln (4) - \ln (3))$ を展開します。

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ステップ 5.1.3.1

分配則を当てはめます。

$1 (\ln (4) - \ln (3)) - x (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

ステップ 5.1.3.2

分配則を当てはめます。

$1 \ln (4) + 1 (- \ln (3)) - x (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

ステップ 5.1.3.3

分配則を当てはめます。

$1 \ln (4) + 1 (- \ln (3)) - x \ln (4) - x (- \ln (3)) = x \ln (5)$

ステップ 5.1.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.4.1

$\ln (4)$ に $1$ をかけます。

$\ln (4) + 1 (- \ln (3)) - x \ln (4) - x (- \ln (3)) = x \ln (5)$

ステップ 5.1.4.2

$- \ln (3)$ に $1$ をかけます。

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) - x (- \ln (3)) = x \ln (5)$

ステップ 5.1.4.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) - 1 \cdot - 1 x \ln (3) = x \ln (5)$

ステップ 5.1.4.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) + 1 x \ln (3) = x \ln (5)$

ステップ 5.1.4.5

$x$ に $1$ をかけます。

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) + x \ln (3) = x \ln (5)$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $x \ln (5)$ を引きます。

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5) = 0$

ステップ 5.3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $\ln (4)$ を引きます。

$- \ln (3) - x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (4)$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺に $\ln (3)$ を足します。

$- x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (4) + \ln (3)$

ステップ 5.4

$x$ を $- x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5)$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$x$ を $- x \ln (4)$ で因数分解します。

$x (- 1 \ln (4)) + x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (4) + \ln (3)$

ステップ 5.4.2

$x$ を $x \ln (3)$ で因数分解します。

$x (- 1 \ln (4)) + x (\ln (3)) - x \ln (5) = - \ln (4) + \ln (3)$

ステップ 5.4.3

$x$ を $- x \ln (5)$ で因数分解します。

$x (- 1 \ln (4)) + x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

ステップ 5.4.4

$x$ を $x (- 1 \ln (4)) + x (\ln (3))$ で因数分解します。

$x (- 1 \ln (4) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

ステップ 5.4.5

$x$ を $x (- 1 \ln (4) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (5))$ で因数分解します。

$x (- 1 \ln (4) + \ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

ステップ 5.5

$- 1 \ln (4)$ を $- \ln (4)$ に書き換えます。

$x (- \ln (4) + \ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

ステップ 5.6

$- 1 \ln (5)$ を $- \ln (5)$ に書き換えます。

$x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

ステップ 5.7

$x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$ の各項を $- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.7.1

$x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$ の各項を $- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)$ で割ります。

$\frac{x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (4)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} + \frac{\ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

ステップ 5.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.7.2.1

$- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (4)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} + \frac{\ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

ステップ 5.7.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \ln (4)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} + \frac{\ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

ステップ 5.7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.7.3.1

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{- \ln (4) + \ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

ステップ 5.7.3.2

$- 1$ を $- \ln (4)$ で因数分解します。

$x = \frac{- \ln (4) + \ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

ステップ 5.7.3.3

$- 1$ を $\ln (3)$ で因数分解します。

$x = \frac{- \ln (4) - 1 (- \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

ステップ 5.7.3.4

$- 1$ を $- \ln (4) - 1 (- \ln (3))$ で因数分解します。

$x = \frac{- (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

ステップ 5.7.3.5

$- (\ln (4) - \ln (3))$ を $- 1 (\ln (4) - \ln (3))$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

ステップ 5.7.3.6

$- 1$ を $- \ln (4)$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

ステップ 5.7.3.7

$- 1$ を $\ln (3)$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) - 1 (- \ln (3)) - \ln (5)}$

ステップ 5.7.3.8

$- 1$ を $- \ln (4) - 1 (- \ln (3))$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- (\ln (4) - \ln (3)) - \ln (5)}$

ステップ 5.7.3.9

$- 1$ を $- \ln (5)$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- (\ln (4) - \ln (3)) - \ln (5)}$

ステップ 5.7.3.10

$- 1$ を $- (\ln (4) - \ln (3)) - \ln (5)$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))}$

ステップ 5.7.3.11

$- (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))$ を $- 1 (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- 1 (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))}$

ステップ 5.7.3.12

共通因数を約分します。

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- 1 (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))}$

ステップ 5.7.3.13

式を書き換えます。

$x = \frac{\ln (4) - \ln (3)}{\ln (4) - \ln (3) + \ln (5)}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\ln (4) - \ln (3)}{\ln (4) - \ln (3) + \ln (5)}$

10進法形式：

$x = 0.15164147 \dots$

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