微分積分学準備例

$\tan (\arccos (\frac{x}{5}))$

ステップ 1

交点 $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ 、 $(\frac{x}{5}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arccos (\frac{x}{5})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\tan (\arccos (\frac{x}{5}))$ は $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}{\frac{x}{5}}$ です。

$\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}{\frac{x}{5}}$

ステップ 2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}} \frac{5}{x}$

ステップ 3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}} \frac{5}{x}$

ステップ 4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{x}{5}$ です。

$\sqrt{(1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})} \frac{5}{x}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{(\frac{5}{5} + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})} \frac{5}{x}$

ステップ 5.2

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{5 + x}{5} (1 - \frac{x}{5})} \frac{5}{x}$

ステップ 5.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{5 + x}{5} (\frac{5}{5} - \frac{x}{5})} \frac{5}{x}$

ステップ 5.4

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{5 + x}{5} \cdot \frac{5 - x}{5}} \frac{5}{x}$

ステップ 5.5

$\frac{5 + x}{5}$ に $\frac{5 - x}{5}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{5 \cdot 5}} \frac{5}{x}$

ステップ 5.6

$5$ に $5$ をかけます。

$\sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}} \frac{5}{x}$

ステップ 6

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}$ を ${(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 6.1

$(5 + x) (5 - x)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{25}} \frac{5}{x}$

ステップ 6.2

$25$ から完全累乗 $5^{2}$ を因数分解します。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}} \frac{5}{x}$

ステップ 6.3

分数 $\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))} \frac{5}{x}$

ステップ 7

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{5} \sqrt{(5 + x) (5 - x)} \frac{5}{x}$

ステップ 8

$\frac{1}{5}$ と $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5} \cdot \frac{5}{x}$

ステップ 9

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5} \cdot \frac{5}{x}$

ステップ 9.2

式を書き換えます。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} \frac{1}{x}$

ステップ 10

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{x}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例